中国科学:数学2023年第53卷第2期:279∼300SCIENTIASINICAMathematica论文英文引用格式:TangW,ZhouY.Equivalenceandautomorphismgroupsoftwofamiliesofmaximumscatteredlinearsets(inChinese).SciSinMath,2023,53:279–300,doi:10.1360/SSM-2022-0073c©2022《中国科学》杂志社www.scichina.commathcn.scichina.com两类最大散射线性集的等价性与自同构群献给朱烈教授80华诞唐薇,周悦∗国防科技大学理学院,长沙410073E-mail:1050271697tw@gmail.com,yue.zhou.ovgu@outlook.de收稿日期:2022-04-28;接受日期:2022-07-21;网络出版日期:2022-09-16;*通信作者湖南省自然科学基金(批准号:2019RS2031)和长沙市杰出创新青年培养计划(批准号:kq2106006)资助项目摘要有限域上射影空间中的线性集在阻碍集、半域和秩度量码等的研究中起着核心作用.具有最大可能的元素个数和最大秩的线性集称为最大散射线性集.经过近20年的研究,目前已知的射影直线上最大散射线性集的个数仍然较少,其中包含Csajb´ok等(2018)和Marino等(2020)构造的两类.本文旨在解决这两类最大散射线性集中每一类中元素的等价问题,并确定它们的自同构群.关键词线性集秩距离码有限几何线性多项式MSC(2020)主题分类05B25,51E20,51E221引言线性集的概念由Lunardon[12]提出,它是有限几何中子几何这一概念的推广.在过去20年对有限几何和编码理论的研究中,线性集被广泛研究并应用于构造和刻画各类对象,包括阻断集(blockingsets)、二相交集(two-intersectionsets)、Cayley广义六边形的平移展形(spread)、极空间的平移卵形体(ovoid)、半域和秩度量码.更多内容可参见文献[2,8,16–18]及其中所列的参考文献.本文只讨论射影直线上的线性集.令Λ=PG(V)=PG(1,qn),其中,V是Fqn上的2维向量空间,PG(projectivegeometry)表示射影几何,那么Λ是一条射影直线.若Λ中的秩为k的点集L是被V中一个Fq-向量子空间U中的非零向量定义,即L=LU:={Fqn:u∈U\{0}},那么L称为Fq-线性集,其中U的维数称为L的秩.对于任意秩为k的Fq-线性集LU,易知|L|⩽qk−1q−1.唐薇等:两类最大散射线性集的等价性与自同构群如果等号成立,那么LU称为散射(scattered)线性集.Blokhuis和Lavrauw[3]称Λ中一个具有最大秩k=n的散射线性集为最大散射线性集.在射影半线性群(projectivesemilineargroup,PΓL)PΓL(2,qn)的作用下,总可以假设Λ中秩为n的线性集LU不包含点<(0,1)>Fqn.从而U和LU可以表示为Uf={(x,f(x)):x∈Fqn}以及Lf={<(x,f(x))>Fqn:x∈F∗qn},其...
