2023学年湖北省十堰市东风高级中学高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知为非零向量，“”为“”的（ ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数（）的图像可以是（ ） A． B． C． D． 4．已知是虚数单位，若，，则实数（ ） A．或 B．-1或1 C．1 D． 5．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ） A． B． C． D． 8．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图在一个的二面角的棱有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（ ） A．4 B． C．2 D． 10．若，则， ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 11．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( ) A． B． C． D． 12．已知i为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________． 14．已知x，y＞0，且，则x+y的最小值为_____． 15．已知单位向量的夹角为,则=_________. 16．若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵. 18．（12分）的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，点为边的中点，且，求的面积. 19．（12分）已知关于的不等式有解. （1）求实数的最大值； （2）若，，均为正实数，且满足.证明：. 20．（12分）是数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列中最小的项. 21．（12分） 已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）求函数在上的最小值； （Ⅲ）若函数，当时，的最大值为，求证：. 22．（10分）已知函数存在一个极大值点和一个极小值点. （1）求实数a的取值范围； （2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数） 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可. 【题目详解】 依题意如图所示： 取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心， 取是的外心，作平面平面， 则是四棱锥的外接球球心，且， 设四棱锥的外接球半径为，则，而， 所以， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题. 2、B 【答案解析】 由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断；再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系. 【题目详解】 若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以； 若,则向量与的方向相同,且,从而,所以. 所以“”为“”的充分必要条件. 故选:B 【答案点睛】 本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用. 3、B 【答案解析】 根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【题目详解】 由题可知：， 所以当时，， 又， 令，则 令，则 所以函数在单调递减 在单调递增， 故选：B 【答案点睛】 本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题. 4、B 【答案解析】 由题意得，，然后求解即可 【题目详解】 ∵，∴.又∵，∴，∴. 【答案点睛】 本题考查复数的运算，属于基础题 5、B 【答案解析】 由题意可知函数为上为减函数，可知函数为减函数，且，由此可解得实数的取值范围. 【题目详解】 由题意知函数是上的减函数，于是有，解得， 因此，实数的取值范围是． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用分段函数的单调性求参数，一般要分析每支函数的单调性，同时还要考虑分段点处函数值的大小关系，考查运算求解能力，属于中等题. 6、C 【答案解析】 作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值. 【题目详解】 解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示： 当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题. 7、A 【答案解析】 根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【题目详解】 在中，，，，由余弦定理，得， 所以. 所以所求概率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 8、B 【答案解析】 根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值. 【题目详解】 由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 表示复数对应的点与点间的距离， 又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1， 所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题. 9、A 【答案解析】 由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求． 【题目详解】 解：， ， ，， ，， ． ， ， 故选：． 【答案点睛】 本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10、D 【答案解析】 因为，所以， 因为，，所以,. 综上；故选D. 11、B 【答案解析】 二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用． 12、A 【答案解析】 根据复数乘除运算法则，即可求解. 【题目详解】 . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数代数运算，属于基础题题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列． 【题目详解】 第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法． 14、1 【答案解析】 处理变形x+y＝x（）+y结合均值不等式求解最值. 【题目详解】 x，y＞0，且， 则x+y＝x（）+y1， 当且仅当时取等号，此时x＝4，y＝2，取得最小值1． 故答案为：1 【答案点睛】 此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件. 15、 【答案解析】 因为单位向量的夹角为，所以，所以==. 16、 【答案解析】 化简函数，求出在上的单调递增区间，然后根据在和上均单调递增，列出不等式求解即可． 【题目详解】 由知， 当时，在和上单调递增， 在和上均单调递增， ， ， 的取值范围为：． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组，属中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、. 【答案解析】 根据特征多项式可得，可得，进而可得矩阵A的逆矩阵. 【题目详解】 因为矩阵的特征多项式，所以，所以. 因为，且， 所以. 【答案点睛】 本题考查矩阵的特征多项式以及逆矩阵的求解，是基础题. 18、（1）；（2）. 【答案解析】 (1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可. (2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可. 【题目详解】 （1）由, 可得, 由余弦定理可得, 故. （2）因为为的中线,所以, 两边同时平方可得, 故. 因为,所以. 所以的面积. 【答案点睛】 本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题. 19、（1）；（2）见解析 【答案解析】 （1）由题意，只需找到的最大值即可； （2），构造并利用基本不等式可得，即. 【题目详解】 （1）， ∴的最大值为4. 关于的不等式有解等价于， （ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得， （ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得， 综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即. （2）证明：根据（1）求解知，所以， 又∵，，，， ，当且仅当时，等号成立， 即，∴， 所以，. 【答案点睛】 本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题. 20、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式； （2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值. 【题目详解】 （1）对任意的，由得， 两式相减得， 因此，数列的通项公式为； （2）由（1）得，则. 当时，，即，； 当时，，即，. 所以，数列的最小项为. 【答案点睛】 本题考查利用与的关系求通项，同时也