结构可靠度求解的自适应细分-重要抽样法_王新愿.pdf

第 卷 第期中 国 机 械 工 程 年月 结构可靠度求解的自适应细分 重要抽样法王新愿周金宇谢里阳程锦翔江苏理工学院机械工程学院，常州，金陵科技学院机电工程学院，南京，东北大学机械工程与自动化学院，沈阳，摘要：传统的结构可靠度求解方法在处理呈非正态、多变量、小失效概率以及功能函数非线性的问题时，很难以较低成本获得满意的精度。为克服现有方法的不足，将通用生成函数、自适应细分原理和重要抽样技术相结合，提出结构可靠度求解的自适应细分 重要抽样法。根据自适应细分原理，对临界域进行细分，减少离散区间长度，通过递归操作对随机变量进行非均匀自适应细分，得到失效域概率以及细分后的临界域，并由复合运算获得临界域的结构通用生成函数。临界域失效概率由针对域内热点焦元的重要抽样技术获得，失效域概率与临界域失效概率之和即为结构失效概率估计值。算例分析表明，新方法的计算误差明显小于传统方法，同时借助重要抽样技术提高了计算效率。关键词：结构可靠度；通用生成函数；自适应细分；临界焦元；重要抽样中图分类号：；：开放科学（资源服务）标识码（）：，：，：；收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（）；江苏省自然科学基金（）；江苏理工学院研究生实践创新计划（）引言迄今为止，研究者们已提出很多可靠度求解方法。其中，基于设计点的方法是最为常见的方法，该类方法将功能函数在设计点处进行泰勒展开，保留展开式一阶项或高阶项，进而计算结构可靠度，当随机变量呈明显非正态或功能函数高度非线性时，计算误差较大。数值模拟方法中最基本 的 是 蒙 特 卡 罗 模 拟（，）方法，该方法具有较高的精度和鲁棒性，主要用于验证其他方法的有效性。这种方法在小失效概率的情况下，需要大量样本保证可靠度求解的精度，计算效率较低。针对涉及非正态随机变量的可靠性问题，通常对随机变量当量正态化，这种转换会增加功能函数的非线性程度，降低可靠度求解的精度。鞍点近似（，）方法可以直接评估具有非正态随机变量的功能函数的概率分 布，得 到了广泛应用和发 展。等将 法与线抽样（，）法相结合，提出鞍点近似线采样（）法，具有准确性高、效率高的优点。等提出一种改进的基于高阶矩的 法，提高了可靠度求解的精度。目前改进方法仅对单峰低偏度的类正态分布有效，而对高偏度、多峰分布或均匀分布存在较大误差或导致失效。针对涉及小失效概率的可靠性问题，国内外学者引入重要抽样（，）和子集模拟（，）方法，取得很多研究成果。等提出交叉熵重要抽样（，）法，该方法与 法相比，具有更高的抽样效率。史朝印等 结合自适应 （，）代理模型，提出改 进的 法，显著减小 法的计算量，提高了可靠度求解的效率。等 结合支持向量机（，）和 法，提高了 可 靠 度 求 解 的 效 率 和 准 确 性。等 将 法与 代理模型方法相结合，提出 方法，可以有效处理涉及小失效概率和高维功能函数的可靠性问题。针对涉及高度非线性功能函数的可靠性问题，传统的基于梯度的方法可能无法得到收敛解。应用粒子群算法求解非线性结构失效概率，可得到较精确的结果。等 受粒子群算法的启发，提出一种全局协调搜索算法（），具有更高的效率。引入混沌控制方法，提高了非线性结 构 可 靠 度 求 解 的 精 度，但 效 率 大 幅 降 低。引入共轭混沌控制方法，与混沌控制方法相比，提高了可靠度求解的效率。然而，对于同时涉及非正态随机变量、小失效概率以及高度非线性功能函数的可靠性问题，现有方法尚不能提供有效的解决方案。通用 生 成 函 数（，）是建立在广泛使用概率论原理的生成函数基础上，用于枚举分析系统状态的一种方法。世纪 年代，首次提出 概念，随后 、将 应用于多状态系统可靠性分析领域，逐渐成为多状态离散系统可靠性分析的重要工具 。自 提出利用 计算连续状态系统可靠度指标的界以来，该方法逐渐被扩展到具有连续型随机变量的结构失效概率分析中 。连续变量结构系统经变量离散化后，状态空间通常较为庞大，对这类系统进行可靠性分析时会产生海量的状态组合，因此该方法未能广泛应用于结构可靠性分析中。由于现有的可靠度求解方法无法同时满足复杂结构可靠度求解的精度和效率要求，故本文将 工具、自适应细分原理以及重要抽样技术有机结合，提出结构可靠度求解的自适应细分 重要抽样法。该方法针对涉及非正态随机变量、小失效概率以及高度非线性功能函数的可靠性问题，在可控的计算成本内保证了可靠度求解的精度。结构可靠性分析的 法 的描述对象为离散型随机变量，因此在建立连续型随机变量 时，需将随机变量离散化。设连续型随机变量的累积分布函数及概率密度函数分别为（）和（），将其在定义域（，）内均匀离散成个点，由下式计算各离散点对应的概率值：（）（）（）（）（）式中，离散步长（）。因此，根据离散数据集（，），定义连续型随机变量的 为（）（）设维连续型随机向量（，），根据式（）、式（）获得各分量的，记为（），（）式中，、分别为随机变量的第个状态值和对应的概率值；为的离散状态数。设结构功能函数为（），当（）时，结构失效；当（）时，结构可靠。对各分量的 进行复合运算，获得结构系统的 ，即（）（），（），（）（）（，）（）式中，（）为功能函数（）的结构 ；为复合算子，用于描述各变量 间的运算规则。结构可靠度求解的自适应细分 重要抽样法 王新愿周金宇谢里阳等结构 由式（）可进一步简化为（）（）式中，为随机变量离散状态组合总数，；、分别为各随机变量离散状态组合对应的概率值和功能函数值。依据该 的概率项进行条件求和，得到结构的可靠度为（）（）（）式中，（）为条件求和算子；（）为示性函数，当时（）取，否则取。显然，法通过枚举结构系统各随机变量离散状态，并通过递推运算实现结构的可靠性分析。该方法适用于涉及非正态随机变量以及高度非线性功能函数的可靠性问题。临界域的自适应细分原理根据式（）定义随机变量状态组（，）对应的维空间为焦元（，）。通过各变量的复合运算可得到若干个维空间焦元及对应的概率值和功能函数值。设各焦元功能函数极小值和极大值分别为、。如果，焦元在失效域；如果，焦元在可靠域；如果，焦元在临界域。计算焦元功能函数极值，可采取两种简化方法。一种是分别计算焦元超立方体各顶点的功能函数值，取最小值为，最大值为。该方法需要调用次功能函数，当随机变量个数较多时，计算成本偏高。另一种方法是引入区间分析技术高效求解焦元功能函数极值，基本原理如下。将功能函数（）在焦元的中心点处进行一阶泰勒展开：（）（）（）式中，为随机向量的分量；为焦元中心点的分量，。式（）中的偏导数可用前向差分法求解，即（.）（）.（）式中，为维向量，该向量的第个分量为，其余分量均为；为随机变量的离散步长。将式（）代入式（），则焦元子空间中功能函数的极小值和极大值可通过下式求解：（）（）（.）（）（）（）（.）（）（，）（，）利用式（）、式（）求解焦元功能函数极值时，由于焦元中心点的功能函数值（）等于，直接由结构 相关信息获知，所以计算每个焦元的功能函数极值时仅需再调用次功能函数。基于 的可靠性分析方法通常使用递推操作实现随机变量的复合运算，并借助同类项合并技术，以获得结构性能的概率分布。然而，离散步长较大时，会导致分析精度不足；离散步长较小时，会增加复合运算的成本。因此，基于自适应细分原理，对临界域进行细分，减少离散区间长度，并通过递归操作对多变量进行非均匀自适应细分（图）。图临界域的自适应细分 根据随机变量的定义域确定结构初始状态的，即（）（，）（）式中，（）为超立方体的结构；和分别为由的定义域确定的超立方体的下界和上界；为超立方体的 焦 元 总 数；为 超 立 方 体中第个焦元对应的概率值。当焦元功能函数极值满足时，焦元处于临界域，相应的变量空间会被细分。通过二分法细分超立方体，得到个超立方体，超立方体 的结构 可表示为中国机械工程 第 卷 第期 年月上半月 （）（，）（），（）（）（）（）式中，为超立方体 的焦元总数；、分别为超立方体 中第个焦元对应的概率值、中心点以及功能函数值；为超立方体顶点状态组合数；，为对角线矩阵，其主对角线元素依次为，且，主对角线元素取值的组合方式不能重复。通过递归运算重复细分后可得细分空间对应的结构：（）（）（）（）式中，“”为递归运算符。根据细分空间对应的结构 ，可得结构可靠度（）（，）（）式中，为细分空间的焦元总数；（）为示性函数，当时取，当时取。根据式（）对变量空间进行重复细分后，包含极限状态的超曲面的区域变小，结构状态 的项数增加，概率分析的精度提高。但是随着空间维数的增加，计算量呈指数增长，即使递归操作只针对不断缩小的临界域，也会产生较大的计算成本。因此，在上述方法的基础上，考虑将变量空间细分到一定程度，得到失效域概率以及细分后的临界域，再对临界域焦元进行重要抽样，最终得总体失效概率。递归终止准则可定义为变量子空间大小的体积比小于某一阈值，即 （）式中，为给定的阈值。面向临界域焦元的重要抽样技术重要抽样法是一种应用广泛的方差缩减方法，它通过构建重要抽样密度函数替代原来的概率密度函数，使样本尽可能多地落入失效域，从而提高计算效率。设随机向量的概率密度函数为（），结构的失效域为（），结构失效概率可由以下积分求得：（）（）设细分后的临界域为，构建重要抽样密度函数（）为临界域 上的均匀分布，即（）（）式中，（，）；，为第个焦元，；为个临界域焦元体积之和。设临界域 的失效概率估计值为?，基于重要抽样密度函数（），由式（）可得?（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）式中，（）为按（）抽样的样本数学期望；（，）为按（）抽取的个样本；（）为样本失效示性函数，当样本点处的功能函数值小于时取，否则取。设临界域 占概率总量为（由临界域焦元概率求和得出），可表示为（，）（）将式（）、式（）代入式（），进一步整理可得?（）（）（）（）（）（，）（）（）（）（）（）?（）式中，（）（，）表示对临界焦元空间抽样次的概率总和；?为临界域焦元的条件失效概率。自适应细分 重要抽样法的基本步骤首先对临界域进行自适应细分，失效域焦元概率直接累加求取失效域概率，再对细分后的临界域焦元采用重要抽样技术得到临界域失效概率，两者相加得结构失效概率。综上可得，自适应细分 重要抽样法的基本步骤如下：（）由随机向量的定义域确定超立方体的上下界和。根据结构功能函数（）及焦元的概率值，由式（）得（）。结构可靠度求解的自适应细分 重要抽样法 王新愿周金宇谢里阳等（）由式（）、式（）计算焦元的功能函数极小值和极大值。当时，由式（）式（）细分生成子空间，对每个子空间执行由式（）定义的递归终止准则，如果满足条件，则停止循环操作。否则，当前子空间被更新为初始空间，再次执行以上递归操作。（）递归运算完成后，由式（）定义的加权求和算子获得失效域概率。（）运用式（）、式（）对临界域内各变量 进行复合运算，得（）（）将临界域焦元中概率大于足够小阈值（约低于失效概率预估值两个数量等级）的焦元划为热点焦元，其余为边际焦元。对边际焦元做近似处理，将其在（）中的对应项概率系数求和后取半得边际焦元失效概率。（）设 临 界 域 内 热 点 焦 元 占 概 率 总 量 为。根据式（）、式（）定义的重要抽样规则对热点焦元进行次抽样，得到热点焦元条件失效概率?（通常抽样次数大于热点焦元数的 倍即可满足精度要求）。将热点焦元在（）中的对应项概率系数求和得热点焦元占概率总量为，则热点焦元失效概率为?。（）根据步骤（）、（）、（）的计算结果，求和得总体结构失效概率。算例分析及讨论.数学算例考虑如下个功能函数：（）（）（）（）（）（）其中，随机向量（，）。对于功能函数式（），服从均值为.、标准差为.的正态分布，服从均值为.、标准差为.的正态分布，服从均值为.、标准差为.的正态分布。对于功能函数式（）和功能函数式（），服从区间，.上的均匀分布，服从均值为.、标准差为.的正态分布，服从均值为.、标准差为.的对数正态分布。首先针对功能函数式（）计算结构失效概率。根据以上提出的自适应细分 重要抽样法，确定初始超立方体上界.和下界.。运用式（）得到（），进一步由式（