考虑污染和种内关系的种群扩散最优控制模型_杨露.pdf

第 卷 第 期运筹与 管理，年 月 收稿日期：基金项目：陕西省自然科学基金项目（）；全国统计科学研究重点项目（）；西安财经大学青年英才发展支持计划；西安财经大学雁塔学者支持项目；国家社会科学基金项目（）作者简介：杨露（），女，陕西西安人，博士，副教授，硕士生导师，研究方向：随机控制；高伟（），通讯作者，女，陕西西安人，博士，教授，硕士生导师，研究方向：时间序列分析。考虑污染和种内关系的种群扩散最优控制模型杨 露，高 伟（西安财经大学 统计学院，陕西 西安）摘 要：针对污染和种内关系均影响细菌种群扩散这一管理生态学问题，本文建立了基于非线性拟抛物方程的最优控制模型，将外界环境向细菌种群输入的毒素率作为控制变量，运用控制理论和方法探讨污染和种内关系双重影响下种群扩散系统的最优控制问题。利用 不动点定理证明了该种群扩散系统的适定性；同时，通过建立新的 型估计，给出了容许控制和最优控制的存在性。最后，通过数值算例分析了理论推导的结果，在算例中都找到一对时间最优控制，验证了种群扩散系统最优控制模型的有效性。该研究结果对现代传染病预防具有借鉴意义，也为有效控制瘟疫的爆发和流行提供理论参考。关键词：种群扩散系统；最优控制；适定性；型估计中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，）：（），：；引言随着科技进步和人类文明的发展，全球性环境污染和生态破坏问题日益凸显，这也加速了瘟疫的爆发和流行。细菌是产生瘟疫的主流病原体。从中世纪造成欧洲人口大量削减的鼠疫，到 世纪的生物恐怖袭击武器炭疽，以及至今仍在非洲各国爆发的霍乱等，细菌导致的严重传染病已经严重危害人类生存和发展。环境是细菌种群赖以生存和发展的基础，因环境污染而释放的毒素也对细菌种群的生存和发展产生了巨大的影响，。种群扩散是种群动态的一个重要方面，而个体间相互作用是制约种群扩散变化的主要因素之一。在种群生态学中，种群内不同个体间的相互作用称为种内关系，具体包括种内互助和种内竞争。当种群个体达到一定数目时，就必定会出现邻近个体之间的相互作用和影响。开展种群研究最为核心的问题就是种群数量研究，种群数量是生物繁殖与进化的基本指标。因此，基于环境污染和种内关系研究细菌种群扩散及其最优控制问题具有重要的理论和实际意义。利用微分方程模型定性研究环境污染对生物种群的影响始于 世纪 年代。研究环境中毒素是常数输入的单种群模型，给出种群平均弱持久、强持久和灭绝的定义。等将所建模型中表示环境毒素浓度变化量进行简化，给出种群灭绝条件。燕雪飞等研究污染环境中单种群内禀增长率为非线性函数的模型，得到种群持续生存与灭绝的判别条件。近年来，考虑环境污染的种群扩散最优控制问题也越来越受到学者的关注。何泽荣等研究了一类包含全局反馈的偏泛函积分微分方程尺度结构种群模型，并得到最优策略的存在唯一性。贠晓菊等研究污染环境中非线性时变种群扩散系统的最优控制问题，并证明最优控制存在性。申柳肖等研究基于个体尺度结构的竞争种群系统最优输入率控制问题，并获得了最优控制的存在唯一性。王战平研究环境污染的非线性种群动力系统的最优控制问题，证明最优控制的存在性。雒志学等研究了一类具有扩散的种群线性动力系统的最优控制问题，证明了最优控制问题解的存在性。由现有成果可知，基于环境污染视角，借助偏微分方程作为研究工具探索生物种群扩散及最优控制问题的文献颇多。但是这些文献大都采用低阶偏微分方程，宏观地分析环境污染对种群扩散的制约。而在现实中，生物种群个体间相互作用广泛存在，种群生存扩散往往受到个体间相互作用（种内关系）的影响。目前考虑环境污染和种内关系双重影响下种群扩散系统最优控制的研究相对缺乏，考虑种内关系有利于从微观角度深入研究种内调节作用。杨露等率先研究了基于高阶偏微分方程的污染扩散模型的适定性。本文在此基础上，兼具环境污染和种内关系两大制约因素，研究生物种群扩散系统的最优控制。首先利用 不动点定理证明基于环境污染和种内关系双重因素影响下种群扩散系统是适定的，这一结论为后续研究提供了坚实的理论保障。其次，在最优控制模型求解中，解决能控性问题最有效的方法是 型估计。若考虑种内关系这一因素，种群扩散系统最优控制问题将包含高阶（三阶）偏导数项，其对应的 型估计目前鲜有证明。本文通过建立该种群扩散模型新的 型估计，最终给出最优控制的存在性，进一步丰富了偏微分方程控制理论的框架体系。最后，通过数值算例验证了种群扩散系统最优控制模型的有效性。本文主要贡献有：第一，将种内关系这一因素引入种群扩散最优控制模型，使模型更加贴近种群扩散演变规律，有助于从微观角度深入研究种内调节作用；第二，建立种群扩散最优控制模型的新 型估计，这是证明最优控制存在性的充分条件；第三，本文研究表明，种群扩散最优控制模型用于模拟双重影响下细菌种群扩散行为时存在最优控制，即可以找到外界环境对种群的毒素输入率，该毒素输入率使得种群在最短时间内灭亡。本文通过考虑环境污染和种内关系影响，更加客观地反映出细菌种群的现实扩散及发展趋势，对现代传染病预防具有借鉴意义，也为有效控制瘟疫的爆发和流行提供理论参考。种群扩散最优控制问题描述与基本模型构建细菌是产生瘟疫的主流病原体，因此研究细菌种群扩散也随之成为管理生态学领域中的热点问题。污染和种内关系是影响种群生存和发展的两个重要因素。因此，基于污染环境和种内关系研究细菌种群扩散及其最优控制问题十分重要，并吸引不少学者从事这方面的研究。本文提出污染（外界向种群生活环境输入毒素）和种内关系双重影响下的种群扩散系统（下文简记为 系统）（，）（，）（，）（，）（，）（）（，）（，），）（，）（）（，）（，），）令 是 维欧式空间 上带有光滑边界 的有界开集，（）（）（），（）是开集上的特征函数。对给定函数（）（），在空间（）上定义一个连续线性函数（）（）（），（）系统源于种群动力学，描述在区域 内某一第 期 杨 露，等：考虑污染和种内关系的种群扩散最优控制模型种群的扩散行为，如细菌。本文运用 系统研究在考虑种内关系影响下，外界环境向种群输入毒素率与种群扩散行为之间的关系。在上述 系统中，（，）表示生存在区域 内的种群密度，算子 用于衡量区域 内种群迁移情况，即种群个体由高密度区域向低密度区域移动的迁移速率。高阶偏导数项（，）表示种内关系状况。在种群生态学中，种内互助和种内竞争是种内关系的两种表现形式。非局部项（，）表示种群的平均死亡率，根据种群生态学理论，假设死亡率与种群密度成比例，本文假设函数 满足（），（），（）因种群是动态发展变化的，故 系统中引入表征种群死亡率的非线性项，更贴近种群真实生存状态。环境质量对种群的生存扩散影响巨大，因此研究环境污染对生物种群的作用关系着生态平衡和发展。在 系统中，（，）为控制变量，表示外界环境向种群输入的毒素率。而在实际的种群扩散系统中，因不同位置其地理环境特征可能有很大差异，导致环境对种群输入的毒素率也不同，所以（）用于描述种群在其生活区域 内，不同位置 对应的特有地理环境特征。令 （，；（）为控制变量（，）所属度量空间，假设控制变量（，）属于集合 （），（，），）本文目标是寻求控制函数，使得种群密度在最短时间下降为零（该种群在最短时间内灭绝），即研究如下的时间最优控制问题（）（），是如下 系统的解（）（）（，）（，）（，）（，）（，）（）（，）（，），）（，）（）（，）（，），）（）其中 为控制时间。若 系统的解 满足（），则称 是容许控制。下确界 （），是如下 系统的解称为最优控制时间。满足（）的 称为最优控制变量。种群扩散最优控制模型的适定性在研究时间最优控制问题（）之前，首先考虑 系统的适定性，即对任意 ，系统的解存在且唯一。模型适定性是研究实际自然现象可抽象为数学模型的理论保证。定理 假设 满足条件（）。那么，对于每一 和任意固（，；（），存在唯一，（，；（）（，；（）满足 系统。证明运用文献的证明思想和 不动点定理可得 系统解的存在唯一性。定理 说明基于环境污染和种内关系双重影响的 系统模型是适定的。种群扩散最优控制模型的容许控制最优控制的存在性需以容许控制存在性为前提。这部分将首先给出当控制变量 属于有界集时，系统的精确零能控性。在探索 系统的容许控制是否存在时，型估计发挥着至关重要的作用。因 系统包含高阶偏导数项（，），得到 系统的 型估计是一个难点。型估计近年来，学者们利用 型估计处理最优控制问题的近似能控和精确零能控性已取得许多成果。然而，伪抛物型方程最优控制系统鲜有研究，其对应的 型估计也未给出。令（，）（），（，）（）其中 由文献，给出。下面运用文献得到 系统的 型估计。引理（型估计）存在常数，使得对，（），有（）（）（）（）（）（）（）其中 是非线性拟抛物方程初边值问题运 筹 与 管 理 年第 卷 （，），）（，）（，），）（，）（）的任意解。（，），是不依赖，和 的正常数。引理 得到 系统的 型估计是容许控制存在性的先决条件，也是本文主要贡献之一，进一步丰富了偏微分方程控制理论的框架体系。容许控制的存在性首先通过 型估计证明伪抛物线性系统的精确零能控性，并得到相关控制变量的一些估计。对于给定，及任意的函数（，；（），接下来证明如下线性系统的精确零能控性：（，）（，）（，）（，）（，）（）（，）（，）（，）（）（，）（，）（）接下来运用文献中定理 的证明思想得到 系统的精确零能控性。引理 给定 。对于任意（）（）（），存在，（，；（）（，；（）和（，；（）满足系统（），并且如下式子成立（），（，（）引理 说明线性系统（）是精确零能控，并得到相关控制变量的范数估计。下面证明 系统容许控制的存在性，这是最优控制存在性的充分条件。定理 令 任意给定，若对于（）（），有 ，（）成立，则存在控制函数（，；（），使得 系统的解 ，（，；（）（，；（）满足（）。定理 说明 系统用于模拟环境污染和种内关系双重影响下种群的扩散行为是存在容许控制的，即对于任意时刻，当种群初始密度满足一个关于 的关系式时，可以找出外界环境对种群的毒素输入率，使得在时刻 时该种群密度为，表明在时刻 该种群消亡。推论 若对于（）（），有 ，（）成立，则存在控制函数（，；（）使得 系统的解 ，（，；（）（，；（）满足（）。推论 在定理 的基础上取 即可得。种群扩散系统最优控制的存在性本部分证明问题（）的最优控制是存在的。定理 令（）（）满足条件（）。则问题（）至少存在一对时间最优控制。定理 说明 模型用于模拟在环境污染和种内关系双重影响下种群的扩散行为是存在最优控制的，即当种群初始密度满足一定条件时，可以找到一个外界环境对种群的毒素输入率，使得在时刻 时该种群密度为，表明该种群消亡，并且该毒素输入率使得种群在最短时间内灭亡。综合上述结果，在时空区域内，种群扩散最优控制模型的最优灭亡时间 计算步骤如下：步骤 令 ；步骤 当 时，令 （），否 则 令 （）；步骤 计算灭亡时间 ；步骤 计算最优灭亡时间 。数值算例分析本文采用数值计算方法对考虑污染和种内关系的种群扩散最优控制模型进行仿真，验证种群扩散最优控制模型的有效性，进一步定量分析污染源向种群中输入的毒素率及种群初始密度对种群灭亡时间的影响。我们考虑不同的种群初始密度 及污染源向种群中输入的毒素率 影响种群灭亡时间的情形。数值仿真参数选取如下：，生存区域测度。取 （，），（，）和 （，）分别刻画种群最优灭亡时间。综上所述，基于 系统和控制问题（）的第 期 杨 露，等：考虑污染和种内关系的种群扩散最优控制模型种群灭亡时间计算步骤如下：步骤 当 时，令 （），否则令 （）；步骤 计算灭亡时间 ；步骤 计算最优灭亡时间 ，所得结果见图 图。图 及 与 的关系（当 时）图 与 的关系（且固定）图 与 的关系（，固定）图 及 与 的关系（当 时）图 与 的关系（且固定）图 与 的关系（，固定）图、图 和图 揭示了当污染源向种群输入毒素率 大于等于 时，种群初始密度 和毒素率 与种群灭亡时间 之间的关系。图、图 和图 揭示了当污染源向种群输入的毒素率 小于 时，种群初始密度 和毒素率 与