中国科学:数学2023年第53卷第2期:407∼418SCIENTIASINICAMathematica论文英文引用格式:ZhouJL,ChangYX.Newconstructionsforpartitionablesetsandalmostpartitionablesets(inChinese).SciSinMath,2023,53:407–418,doi:10.1360/SSM-2022-0031c©2022《中国科学》杂志社www.scichina.commathcn.scichina.com可分集与几乎可分集的新构造献给朱烈教授80华诞周君灵,常彦勋∗北京交通大学数学研究所,北京100044E-mail:jlzhou@bjtu.edu.cn,yxchang@bjtu.edu.cn收稿日期:2022-02-24;接受日期:2022-04-18;网络出版日期:2022-05-27;*通信作者国家自然科学基金(批准号:11971053和12171028)和北京市自然科学基金(批准号:1222013)资助项目摘要可分集(partitionableset,PS)与几乎可分集(almostpartitionableset,APS)是组合设计理论中两类重要的组合构型,与许多其他组合结构具有密切联系,如Z-循环Whist竞赛图、循环差阵、不含邻点的循环平衡样本设计、不交差族及光正交码等.由于可分集与几乎可分集的要求比较严苛,其存在性问题迄今远未解决.本文针对p≡7(mod8)为素数的情形,建立p2阶可分集与p阶几乎可分集的新构造方法,给出两类组合构型存在性的若干新结果.特别地,对于p≡7(mod8)的素数p,本文确定p<30,000的绝大部分p2阶PS的存在性,给出特定条件下p阶APS的存在性和渐近存在性,并得到p<50,000除去16个可能例外的p阶APS的存在性.关键词可分集几乎可分集Whist竞赛图分圆类MSC(2020)主题分类05B051引言令(G,+)是群,其单位元记作0.设v≡1(mod4).v阶群(G,+)上的可分集(PS)记作PS(G),是G中(v−1)/4个有序对的集合S,满足以下两个条件:(1)∪(x,y)∈S±{x,y}=G\{0};(2)∪(x,y)∈S±{x−y,x+y}=G\{0}.设v≡3(mod4),给定v阶群(G,+)上两个非零元α和β.参数为(G,α,β)的几乎可分集(APS)记作APS(G,α,β),是G中(v−3)/4个有序对的集合S,满足以下两个条件:(1)∪(x,y)∈S±{x,y}=G\{0,±α};(2)∪(x,y)∈S±{x−y,x+y}=G\{0,±β}.当群G为交换群时,可分集或几乎可分集中的有序对通常用无序对表示.当群G为剩余类加群Zv时,PS(G)也记作PS(v),APS(G,α,β)也记作APS(v,α,β).周君灵等:可分集与几乎可分集的新构造令v=4n(或v=4n+1),由v个参与者组成的Whist竞赛图Wh(v)是形如(abcd)的赛程表,其中对子{a,c}和{b,d}中的两成员互为队友,其余对子{a,b}、{c,d}、{a,d}和{b,c}中的两成员均为对手,赛程安排满足以下条件:(1)共安排4n−1(或4n+1)轮比赛,每轮包括n场比赛;(2)每个参与者每轮(或除...
