2023学年河北省邯郸市大名县一中高三六校第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ） A． B． C． D． 3．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 6．已知函数是奇函数，则的值为（ ） A．－10 B．－9 C．－7 D．1 7．斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为　　 A．2 B． C． D． 8．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A． B． C． D． 10．已知，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 11．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ） A． B． C． D． 12．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( ) A．7 B．15 C．31 D．63 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若随机变量的分布列如表所示，则______，______． -1 0 1 14．已知实数满约束条件，则的最大值为___________. 15．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________． 16．已知为偶函数，当时，，则__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在三棱柱中，，，，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）求锐二面角的余弦值. 18．（12分）已知函数. （1）证明：当时，； （2）若函数只有一个零点，求正实数的值. 19．（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 20．（12分）已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）的图象与两坐标轴的交点分别为，若三角形的面积大于，求参数的取值范围. 21．（12分）如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）若，，，，求二面角的正弦值. 22．（10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业. （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解. 【题目详解】 ，， 由于，则，同理可知，， 函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增， ，则，，则， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减. 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查代数式最值的计算，涉及指对同构思想的应用，考查化归与转化思想的应用，有一定的难度. 2、D 【答案解析】 以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【题目详解】 如图所示的直四棱柱，，取中点， 以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系． 设，则， ． 设平面的法向量为， 则取， 得． 设直线与平面所成角为， 则， ， ∴直线与平面所成角的正切值等于 故选：D 【答案点睛】 本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 3、B 【答案解析】 根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【题目详解】 输入，不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数不成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，； 不成立，是偶数成立，则，； 成立，跳出循环，输出i的值为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 4、C 【答案解析】 根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可. 【题目详解】 ∵a>0，b>0，a+b=1， ∴， 当且仅当时取“＝”号． 答案：C 【答案点睛】 本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题. 5、B 【答案解析】 根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可． 【题目详解】 2名内科医生，每个村一名，有2种方法， 3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士， 若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村， 则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型. 6、B 【答案解析】 根据分段函数表达式，先求得的值，然后结合的奇偶性，求得的值. 【题目详解】 因为函数是奇函数，所以， . 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力. 7、C 【答案解析】 设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|的最大值． 【题目详解】 解：设直线l的方程为y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0， 由题意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1． 弦长|AB|＝4． 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口． 8、D 【答案解析】 先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围. 【题目详解】 由已知得，则. 因为，数列是单调递增数列， 所以，则， 化简得，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题. 9、A 【答案解析】 由复数的除法求出，然后计算． 【题目详解】 ， ∴． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键． 10、D 【答案解析】 由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解. 【题目详解】 根据指数函数的图像与性质可知， 由对数函数的图像与性质可知，，所以最小； 而由对数换底公式化简可得 由基本不等式可知，代入上式可得 所以， 综上可知， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 11、D 【答案解析】 利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系. 【题目详解】 是偶函数，， 而，因为在上递减， ， 即． 故选:D 【答案点睛】 本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题. 12、B 【答案解析】 试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，； ⑤，. 第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B. 考点：程序框图. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可. 【题目详解】 由题意可知，解得（舍去）或. 则， 则， 由方差的计算性质得. 【答案点睛】 本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14、8 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案. 【题目详解】 根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域. 又目标函数表示直线在轴上的截距， 由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 15、或 【答案解析】 依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或． 16、 【答案解析】 由偶函数的性质直接求解即可 【题目详解】 . 故答案为 【答案点睛】 本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析；（2）. 【答案解析】 （1）证明后可得平面，从而得，结合已知得线面垂直； （2）以为坐标原点，以为轴，为轴，为建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值．