理想气体压强公式推导方法的优化_方德龙.pdf

DOI:1019392/jcnki1671-7341202306052理想气体压强公式推导方法的优化方德龙南京工程学院数理学院江苏南京211167摘要:理想气体压强公式是气体动理论中连接宏观量和微观量的重要桥梁，对其的推导需要同学们运用已学的牛顿力学和新引入的大量粒子的统计规律，然而在教学过程中，同学们普遍反映比较难以理解。文章在理想气体模型的前提假设之下，针对教学过程中同学们理解的困难点，通过重温冲量和平均作用力的概念优化了理想气体压强公式的推导方法，并提出图解法，以期能够帮助同学们更好地掌握理想气体压强公式的推导方法，并能更直观地理解大量粒子的统计规律性。关键词:压强;冲量;平均作用力;动量定理;理想气体在大学物理教学内容中，气体动理论第一次将研究对象的数量拓展到无法穷尽的地步。虽然每一个粒子的运动几乎随机而不可预测，但是庞大的粒子体系却呈现出明显的统计规律性。合理地利用统计规律是掌握气体动理论的关键。理想气体压强公式是气体动理论的一个基本方程1-4，它建立了宏观量和微观量之间的连接。其推导过程是一次牛顿力学与统计规律的结合，通过压强公式的推导可以加强统计概念、统计规律的学习，深入认识压强的实质，并有利于同学们从机械世界观过渡到概率的世界观。理想气体压强公式的推导并不是一个新鲜的问题，很多学者都做了研究和拓展。有的把长方体容器拓展到其他形状5，有的考虑了气体分子的速率分布律6-7，有的通过添加假设做了简化推导1，8-10。笔者在工科物理教学过程中发现，即便是对于教材中常规的推导方法，很多同学掌握起来也有困难。众所周知，理想气体压强公式的推导过程中涉及的算式并不多，之所以还需要作简化推导，是因为文字描述比较多，很容易缺乏逻辑连贯性以及产生理解上的偏差。因此笔者通过吸取同学们反馈的意见，针对同学们的理解困难点，重新梳理并优化了教材中的推导方法，以及提出图解法，以期能够让同学们更容易掌握理想气体压强公式的推导方法，并更直观地感受大量粒子的统计规律。1 问题描述和难点分析假设有一边长分别为lx、ly和lz的长方形容器，其中含有 N 个同类理想气体分子，每个分子的质量均为 m。以器壁A1为例，求在平衡状态时，气体对A1面的压强。图 1 理想气体压强公式的推导以任意一个气体分子 i 为研究对象，其 x 轴方向上的速度分量为vix，在与A1壁的一次完全弹性碰撞前后，其动量改变了2mvix，则根据动量定理有:t2t1Fidt=2mvix(1)其中，Fi为气体分子与 A1壁间的相互作用力大小，t1和 t2分别为单次碰撞前后的时间。忽略气体分子间的相互碰撞，则该气体分子经与A2的碰撞反弹后会再次与 A1壁发生碰撞，相邻两次碰撞时间间隔为2lxvix。以上内容是同学们易于理解的，但接下来伴随着冲量和平均作用力的引入，很多同学产生了理解上的困惑。为此，文章首先重温一遍冲量和平均作用力的概念。2 冲量和平均作用力冲量就是一段时间内力对时间的累积。由于动量定理一般用于处理碰撞、冲击等问题，在这类过程中作用在物体上的冲力时间很短、数值很大，通常用平均冲力 F 来描述它:751科技风 2023 年 2 月理论研究t2t1Fdt=Ft(2)这是很多教材引入平均作用力的方式，其中 t 一般取为碰撞前后的时间差，此时对应的平均冲力同学们很容易理解其物理意义。但是一旦把 t 拓宽到碰撞时间以外，同学们就会困惑:两个物体都没有接触，这样求出来的平均作用力有什么物理意义?凭什么还可以依照这个公式求?为此，作者认为有必要重新回顾一下平均作用力的概念。数学上，函数 f 在区间 a，b()的平均值被定义为:f=1babaf(x)dx(3)应用到力 F 在时间区间(t1，t2)上的平均值即为:F=1t2t1t2t1Fdt(4)将上述公式移项就得到了我们在介绍动量定理时引入的(2)式。显然区间(t1，t2)是可以任意选取的，并不非得是间隔很短的时间，而同时也要明确，平均力 F 必须要配合它被平均的区间(t1，t2)才有意义。它的含义是在保持力对时间的累积(刚好就是冲量)不变的情况下，将变化的力等效成在时间区间(t1，t2)上持续不变的力，不同的区间得出的平均力是不一样的。带着这份认知我们再去推导理想气体压强方程就会轻松很多。3 通过平均作用力求解在理想气体模型中，单个分子与容器壁的碰撞可以认为是周期性的。我们要求的应是长期的平均作用力，因此平均区间就应该选取周期的整数倍，最简单地，选择一个周期:Fi=1TT0Fidt(5)其中，T 也即是相邻两次碰撞的时间间隔2 lxvix。因为一个周期内，只发生一次完整的碰撞，所以得出:T0Fidt=t1t1Fidt=2m vix(6)联立(5)、(6)式得出:Fi=2m vixT=m v2ixlx(7)以上是以一个周期为研究对象，而周期不仅仅是微观上的一个时间段，还是描述整个事件的一个系统参数，与之对应的另一个系统参数是频率，它描述单位时间碰撞的次数。因此我们还可以以单位时间为研究对象，此时(5)式变为:Fi=10Fidt(8)也就是说单位时间内的冲量大小就等于平均作用力，那么应该选择哪一段单位时间为研究对象呢?微观上，室温下的气体分子的平均运动速率约为每秒几百米，在一个长一米的容器内，理想气体分子一秒钟其实已经与容器壁碰撞了上百次。所以任意选取一段单位时间，其碰撞次数是差别不大的。但是仅认识到这一点还不够，更应该认识到我们要求的是长期的平均作用力。因此单位时间的碰撞次数不应该是任意选取的，而应该是长期的统计平均值，实际上就是整个事件的频率。一次碰撞产生的冲量为2m vix，所以平均作用力为:Fi=2m vixvix2 lx=m v2ixlx(9)两种方法求出的平均作用力显然是一样的，所有气体分子的总平均作用力为:F=iFi=mlxiv2ix(10)由于A1壁的面积为lylz，所以气体的压强为:p=Flylz=nm v2x(11)其中 n=NV为气体分子数浓度。对大量气体分子而言，热运动在每个方向上是均一的，因此有v2x=v2y=v2z=13v2(12)所以p=13nm v2(13)这就是理想气体压强公式，它是气体动理论的基本公式之一。压强公式把压强这个宏观量与分子运动速率这个微观量联系起来，从而揭示了压强的微观本质和统计意义。4 通过图解法求解前面的推导方法都是以单个分子的平均作用力Fi为出发点，这种平均目前看起来更像是一种数学上的处理，而事实上它有深刻的物理意义，下面我们用图解法来阐述这种物理意义。我们用图 2 左侧的Fit 图来表示气体分子 i 对A1壁的碰撞过程，这里单次碰撞的Fit 曲线，我们用一个典型的弹性碰撞曲线表示。很显然，如果只考虑一个气体分子，容器壁的受力是不连续的，而我们所要求的是大量气体分子对器壁总的作用力，也就是把图中所有的Fit 曲线沿纵轴方向叠加。容易理解，当气体分子的数量极大并且每个分子的碰撞时间随机分布时，叠加之后就很可851理论研究科技风 2023 年 2 月能会形成一个持续不变的合力，如图 2 右侧的 Ft 图所示。这就是在前面的方法中容易被忽略的大量气体分子的统计规律。图 2 图解法求解压强下面我们继续从图 2 出发求解合力 F。合力 F 也就是把所有的Fit 曲线与横轴包围的面积求和后再铺满横轴得到的纵轴值，为此我们可以先把每一个Fit 曲线与横轴包围的面积铺满横轴，再将对应的纵轴值相加。对于任意一个Fit 曲线与横轴包围的面积我们可以如图 3 所示铺满横轴，单次碰撞过程的 Fit 曲线与横轴包围的面积刚好就是一次碰撞所产生的冲量。由此可见每次碰撞的 Ft曲线形状并不重要，在动量定理的约束之下，它与横轴包围的面积不会变，那么对结果就没有影响。将该部分面积平铺在一个周期里对应的纵轴值显然为:2m vix2lx/vix=m v2ixlx(14)这也就是前面方法中出现的分子 i 对 A1壁的平均作用力Fi。余下推导过程同方法一。图 3 Fit 曲线与横轴包围的面积铺满横轴相比前一种方法，图解法的思路更加直观和清晰，它不需要出现容易让同学们迷惑的平均作用力的概念，只需要掌握力的叠加原理就可以完成，同时它还能够更直观地体现大量粒子的统计规律性。另一方面，也要认识到，Fit曲线与横轴包围的面积实际上就是冲量，将面积铺满时间轴得到的纵轴值其实就是长期平均作用力Fi。通过图解法，我们其实是重新定义了一遍长期平均作用力。结语两种方法各有优劣，图解法较为直观，但思路不够简洁;常规方法中以一个周期为研究对象较以单位时间为研究对象更直观一些，它们都较大程度地依赖于同学们对动量定理中平均作用力以及长期平均作用力的理解。笔者在工科教学实践中发现，如果直接介绍以单位时间为研究对象的常规方法，很多同学难以接受。如果在介绍常规方法之前，先重温一遍冲量和平均作用力的概念，必要时辅以图解法，效果会好很多。最后要说明的是，图解法虽然没有提及平均作用力，但其求解过程其实已经反映了平均作用力的思想。对于物理相关专业学生来说，掌握更抽象、更凝练的常规方法还是有必要的，图解法可以作为理解长期平均作用力和大量粒子统计规律的辅助工具。参考文献:1 赵凯华，罗蔚菌新概念物理教程热学 M 北京:高等教育出版社，1997 2 张三慧 大学物理学M 北京:清华大学出版社，1999 3 马文蔚物理学 M 北京:高等教育出版社，2005 4 程守诛普遍物理学第一册 M 北京:高等教育出版社，1998 5 何启浩理想气体压强公式的探讨J 西南民族大学学报，2011，37:86-90 6 杨奇洁理想气体压强公式的推导J 长治学院学报，2008，25:55-56 7 季涛气体动理论中压强公式的两种证明方法 J 物理与工程，2016，26(Z1):81-83 8 秦允豪热学 M 北京:高等教育出版社，1999 9 张艳燕，路俊哲，张冬波，等关于理想气体压强公式推导的讨论 J 新疆师范大学学报，2012，31:94-96 10 丁健理想气体压强公式的一种简化推导 J 新乡学院学报，2011，28:220-221作者简介:方德龙(1988)，男，汉族，江苏南京人，博士，讲师，主要从事大学物理教学与超导磁通研究工作。951科技风 2023 年 2 月理论研究