2023学年河北省正定县第一中学高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，，则的子集共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．充分不必要条件 4．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（ ） A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q） 5．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 6．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．设复数满足，则（ ） A． B． C． D． 8．是虚数单位，则（ ） A．1 B．2 C． D． 9．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（ ） A．2 B． C． D．1 10．已知函数，则（ ） A． B．1 C．-1 D．0 11．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 12．已知函数满足，设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______ 14．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____． 15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为_______． 16．若函数，其中且，则______________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）证明：，恒成立. 18．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点． （1）当在区间上变动时，求中点的轨迹； （2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值． 19．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知， （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求面积的最大值． 20．（12分）已知函数． （1）求函数的零点； （2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：； （3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围． 21．（12分）已知，，. （1）求的最小值； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 22．（10分）已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【题目详解】 根据题意，分两种情况进行讨论： ①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午. 语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种. 综上所述，共有种不同的排法. 故选：C． 【答案点睛】 本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题． 2、B 【答案解析】 根据集合中的元素，可得集合，然后根据交集的概念，可得，最后根据子集的概念，利用计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知：， 当时， 当时， 当时， 当时， 所以集合 则 所以的子集共有 故选：B 【答案点睛】 本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合中有元素时，集合子集的个数为，真子集个数为，非空子集为，非空真子集为，属基础题. 3、D 【答案解析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案. 【题目详解】 充分性：若存在正数，使得，则，，得证； 必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立； 所以是充分不必要条件 故选：D 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 4、C 【答案解析】 首先判断出为假命题、为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项. 【题目详解】 根据线面平行的判定，我们易得命题若直线，直线平面，则直线平面或直线在平面内，命题为假命题； 根据线面垂直的定义，我们易得命题若直线平面，则若直线与平面内的任意直线都垂直，命题为真命题. 故:A命题“”为假命题；B命题“”为假命题；C命题“”为真命题；D命题“”为假命题. 故选：C. 【答案点睛】 本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题. 5、A 【答案解析】 由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积． 【题目详解】 由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体， 设是的中心，则平面，，， 外接球球心必在高上，设外接球半径为，即， ∴，解得， 球体积为． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体． 6、B 【答案解析】 延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积. 【题目详解】 解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形， 则，，， 在中， 则，得， . 故选：B. 【答案点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题. 7、D 【答案解析】 根据复数运算，即可容易求得结果. 【题目详解】 . 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算，属基础题. 8、C 【答案解析】 由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解. 【题目详解】 由. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查复数的除法和模，属于基础题. 9、B 【答案解析】 ，选B. 10、A 【答案解析】 由函数，求得，进而求得的值，得到答案. 【题目详解】 由题意函数， 则，所以，故选A. 【答案点睛】 本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11、C 【答案解析】 如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案. 【题目详解】 如图所示：作垂直于准线交准线于，则， 在中，，故，即. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12、B 【答案解析】 结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 解：若，则，即成立， 若，则由，得， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求. 【题目详解】 解：的渐近线是 因为在渐近线上，所以 ， 故答案为： 【答案点睛】 考查双曲线的离心率的求法，是基础题. 14、1 【答案解析】 直接根据分层抽样的比例关系得到答案. 【题目详解】 分层抽样的抽取比例为，∴抽取学生的人数为6001． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查了分层抽样的计算，属于简单题. 15、2 【答案解析】 利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值. 【题目详解】 由题意AB中有且只有一个元素，所以，即. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养. 16、 【答案解析】 先化简函数的解析式，在求出，从而求得的值. 【题目详解】 由题意，函数 可化简为， 所以， 所以. 故答案为：0. 【答案点睛】 本题主要考查了二项式定理的应用，以及导数的运算和函数值的求解，其中解答中正确化简函数的解析式，准确求解导数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）证明见解析 【答案解析】 （1）将不等式化为，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证，恒成立，由的最小值为，得到只要证，即证，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立. 【题目详解】 （1）∵，∴，即 当时，不等式化为，∴ 当时，不等式化为，此时无解 当时，不等式化为，∴ 综上，原不等式的解集为 （2）要证，恒成立 即证，恒成立 ∵的最小值为－2，∴只需证，即证 又 ∴成立，∴原题得证 【答案点睛】 本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想. 18、（1）．（2）的周长为，时，的周长为 【答案解析】 （1）设的方程为，根据题意由点到直线的距离公式可得，将直线方程与抛物线方程联立可得，设､坐标分别是､,利用韦达定理以及中点坐标公式消参即可求解. （2）根据抛物线的定义可得，由（1）可得，再利用弦长公式即可求解. 【题目详解】 （1）设的方程为 于是 联立 设､坐标分别是､ 则 设的中点坐标为，则 消去参数得： （2）设，，由抛物线定义知 ，， ∴ 由（1）知 ∴ ，， 的周长为 时，的周长为 【答案点睛】 本题考查了动点的轨迹方程、直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题. 19、（1）（2） 【答案解析】 分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C； (2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值