加权Schr_dinger...型方程组非负解的刘维尔定理_李云亭.pdf

摘要：本文主要考虑加权Schrdinger-Hartree-Maxwell型方程组在次临界情况下非负解的刘维尔定理（即非负非平凡解的不存在性）。证明过程中主要运用反证法和放缩球体法，以及通过微分方程组与积分方程组之间的等价性，得到解的下界估计与积分方程组解的可积性相矛盾，随后证得加权Schrdinger-Hartree-Maxwell型方程组非平凡非负解的不存在性。关键词：加权Schrdinger-Hartree-Maxwell型方程组；次临界；非负解；放缩球体法中图分类号：O175.2文献标志码：A文章编号：2096-854X（2022）060095-07Liouville Theorems for Nonnegative Solutions to WeightedSchrdinger-Hartree-Maxwell Type SystemLi Yunting，Liu Yaqiong，Xiao Yingying*（School of Mathematics and Computer Science,Jiangxi Science and Technology Normal University,Nanchang 330038,Jiangxi,P.R.China）Abstract:This paper mainly concerned with the Liouville theorems（i.e.,non-existence of nontrivial nonnegativesolutions）for nonnegative solutions to weighted SchrdingerHartreeMaxwell type system in the subcritical cases.Inthe process of proof,the method of contradiction and scaling spheres are mainly used,and through the equivalencebetween differential system and integral system,it is found that the lower bound estimation of solutions conflicts withthe integrability of solutions of integral equations,and then the non-existence of nontrivial nonnegative solutions ofweighted SchrdingerHartreeMaxwell type system was proved.Key words:Weighted SchrdingerHartreeMaxwell type system;subcritical;nonnegative solution;scaling spheremethod加权 Schrdinger-Hartree-Maxwell 型方程组非负解的刘维尔定理李云亭，刘亚琼，肖迎迎*（江西科技师范大学数学与计算机科学学院，江西 南昌330038）【数学计算】收稿日期：2022-04-16最终修回日期：2022-08-15接受日期：2022-08-16基金项目：江西省教育厅科学技术重点项目（GJJ211101）、江西科技师范大学研究生创新专项资金项目（YC2022X09）作者简介：李云亭，女，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程；刘亚琼，女，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程；*肖迎迎（通讯作者），女，讲师，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail:。江西科技师范大学学报Journal of Jiangxi Science&Technology Normal University第6期Issue 62022年12月Dec.20221前言众所周知经典的刘维尔定理在证明代数基本定理时至关重要，也是在偏微分方程分析中获得解的先验估计的一个关键因素。本文主要探究加权Schrdinger-Hartree-Maxwell型方程组的非负解的刘维尔定理：定理1.1设n2，02，01，2n，c1，c20且c1c20，0a1，a2，b1，b2+，0p12n-1+2a1n-，江西科技师范大学学报第6期0 p2n+-1+2a2n-，0 q12n-2+2b1n-，0 q2n+-2+2b2n-。设（u，v）是（1.1）的非负经典解，若c12n-1+2a1n-p1()+n+-2+2b2n-q2()+c22n-2+2b1n-q1()+n+-2+2b2n-q2()0那么在Rn中（u，v）（0.0）。（）2u（x）=1x1*xa1vp1()xa2vp2，xRn（）2v（x）=1x2*xb1vq1()xb2vq2，xRnu（x）0，v（x）0，xRn（1.1）当a1a2b1b20，1=2=2，p1q1=2，0p2，q21时，方程组（1.1）为Schrdinger-Hartree型方程组，当a1a2b1b20，1=2=n-，p1q1=nn-，0p2，q22n-时，方程组（1.1）为Schrdinger-Maxwell型方程组。对于任意充分小的0，若02，则u，vC，locL（Rn），若2，则u，vC2（Rn），其中是的整数部分，：=-且有L（Rn）：u，v：RnR Rnu（y）1+yn+dy，Rnv（y）1+yn+dy（1.2）当02，u，vC，locL（Rn）时，分数阶拉普拉斯算子（）2定义为：（）2u（x）C，nP.V.Rnu（x）-u（y）x-yn+dy：C，nlim0y-x u（x）-u（y）x-yn+dy（1.3）其中常数C，nRn1-cos（21）n+d()1。对于u，vC，loc（Rn）L（Rn），分数阶拉普拉斯算子（）2也可以利用Caffarelli和Silvestre1提到的方法等价定义。分数阶拉普拉斯算子（）2和Hartree型非线性在方程组（1.1）中都是非局部的，它可以用来模拟各种物理现象，如准地转流和分子动力学、湍流和水波、反常扩散和恒星的相对论量子力学。分数阶或高阶椭圆方程的刘维尔型定理（即非平凡非负解的不存在性）在整个空间Rn和半空间Rn+中得到了广泛的研究，关于分数阶或者高阶椭圆方程解的定性性质的文献有很多2-5，受戴蔚等人的文章6所提出的缩放球体法研究刘维尔定理启发，本文以加权Schrdinger-Hartree-Maxwell型方程组（1.1）为出发点，对其刘维尔定理进行探究。2证明定理1.1设方程组（1.1）的解（u，v）（0.0）且不恒等于零，则在Rn上由极值原理和方程组（1.1）有（u，v）（0.0）且Rnxa1vp1（x）x1dx，Rnxb1uq1（x）x2dx。关于偏微分方程组与积分方程组之间的等价关系有如下引理：引理2.1设（u，v）是方程组（1.1）的非负经典解，则（u，v）也满足下列积分方程组（2.1），反之亦成立，u（x）=RnR，nx-yn-Rnza1vp1（z）y-z1d()zya2vp2（y）dy，xRnv（x）=RnR，nx-yn-Rnzb1uq1（z）y-z2d()zyb2uq2（y）dy，xRn（2.1）其中对于0n，R，n：n-2()n222()。定义962022年f（v（x）：xa2vp2（x）Rna1vp1（）x-1d（2.2）g（u（x）：xb2vq2（x）Rnb1uq1（）x-2d（2.3）因为u，v0也满足积分方程组（2.1），则对任意的x 1，存在常数C1，C20有u（x）R，nRnf（v（y）x-yn-dyC1xn-，v（x）R，nRng（u（y）x-yn-dyC2xn-（2.4）接下来将运用放缩球体的方法去证明正解（u，v）的下界估计。定理2.2.设n2，02，01，2n，c1，c20且c1c20，0a1，a2，b1，b2+，0p12n-1+2a1n-，0 p2n+-1+2a2n-，0 q12n-2+2b1n-，0 q2n+-2+2b2n-。设（u，v）是方程组（1.1）的解，如果c12n-1+2a1n-p1()+n+-2+2b2n-q2()+c22n-2+2b1n-q1()+n+-2+2b2n-q2()0，则对任意x 1，（u，v）满足如下下界估计：若c10，0p1+p21，则u（x）Ckxk，kn+a1+a2-11-（p1+p2）；（2.5）若c10，0p1+p23n+-21+2a1+2a2n-，则u（x）Ckxk，k；（2.6）若c20，0q1+q21，则v（x）Ckxk，kn+b1+b2-21-（q1+q2）；（2.7）若c20，0q1+q23n+-22+2b1+2b2n-，则v（x）Ckxk，k；（2.8）证明：令p（y）=Rnza1vp1（z）y-z1dz，Q（y）：=Rnzb1uq1（z）y-z2dz，则方程组（2.1）为u（x）=RnR，nx-yn-P（y）ya2vp2（y）dyv（x）=RnR，nx-yn-Q（y）yb2uq2（y）dy（2.9）对任意的0，在原点0处定义u和v的开尔文变换u（x）=x()n-u（x），v（x）=x()n-v（x），xRn0（2.10）其中x2xx2。显然u和v在0点处有奇点且limx xn-u（x）=n-u（0）0，limx xn-v（x）=n-v（0）0由（2.9）式可得到u（x）=B（0）R，nxyn-P（y）ya2vp2（y）dy+B（0）R，ny xyyn-P（y）ya2vp2（y）y()2dy（2.11）v（x）=B（0）R，nxyn-Q（y）yb2uq2（y）dy+B（0）R，ny xyyn-Q（y）yb2uq2（y）y()1dy（2.12）其中1：（n+-1+2a2）-p2（n+）0，2：（n+-2+2b2）-q2（n-）0且P（y）=y()1P（y）=Rnza1vp1（z）y-z1z()1dz（2.13）Q（y）=y()2Q（y）=Rnzb1uq1（z）y-z2z()2dz（2.14）其中1：2n1+2a1-p1（n）0，2：2n-2+2b2-q1李云亭，刘亚琼，肖迎迎：加权Schrdinger-Hartree-Maxwell型方程组非负解的刘维尔定理97江西科技师范大学学报第6期（n-）0。由（2.10）（2.11）（2.12）（2.13）（2.14）式直接计算可得到u（x）=B（0）R，nxyn-P（y）ya2vp2（y）y()1dy+B（0）R，ny xyyn-P（y）ya2vp2（y）dy（2.15）v（x）=B（0）R，nxyn-Q（y）yb2uq2（y）y()2dy+B（0）R，ny xyyn-Q（y）yb2uq2（y）dy（2.16）定义U（x）=u（x）-u（x），V（x）=v（x）-v（x）其中xRn0，运用缩放球体法分两步证明。第一步：从0附近扩张球体S，对于足够小的0，有U（x）0，V（x）0，xB（0）0（2.17）接下来证明对于足够小的0，使B-（0）：xB（0）0|U（x）0，V（x）0=（2.18）对任意的x，yB（0）分别定义下列符号和集合K1（x，y）=R，n1x-yn-1y x-yyn-0（2.19）K2（x，y）=1x-y1-1y x-yy10（2.20）K3（x，y）=1x-y2-1y x-yy20（2.21）O1，（0）：xB（0）0|P（x）vp2（x）P（x）vp2（x）B（0）0（2.22）O2，（0）：xB（0）0|Q（x）uq2（x）Q（x）up2（x）B（0）0（2.23）对任意的yB（0），计算得P（y）-P（y）B（0）K2（y，z）za1vp1（z）-vp1（z）dz（2.24）Q（y）-Q（y）B（0）K3（y，z）zb1uq1（z）-uq1（z）dz（2.25）因此由（2.11）（2.15）（2.24）式和均值定理，对任意的xB-（0），有0U（x）p2O1，（0）B-（0）R，nx-yn-ya2Q（y）