基于旋量理论的被动式跟踪测量系统误差分析与补偿_林钰淇.pdf

基于旋量理论的被动式跟踪测量系统误差分析与补偿Error Analysis and Compensation of Passive TrackingMeasurement System Based on Screw Theory林钰淇张记云任伟鹏陈天赐娄志峰通信作者（大连理工大学 机械工程学院，辽宁大连116024）摘要被动式跟踪测量系统由一个二维旋转平台和一个径向伸缩机构组成，用于测量目标的空间坐标。伸缩机构的末端固定有一个标准球，该标准球被目标磁吸，其径向位移由直线光栅尺测量。二维转盘的旋转角度由两个各自的圆形光栅测量。分析了被动式跟踪测量系统的主要误差来源，基于旋量理论建立了误差模型。最后，利用三坐标测量检测误差模型的补偿效果。经过误差补偿后，被动式跟踪测量系统在450450200mm空间的最大测量误差降低到132.2m。关键词被动式跟踪测量系统；旋量理论；误差测量；误差模型中图分类号TH741文献标识码A基于旋量理论的被动式跟踪测量系统误差分析与补偿林钰淇，等0引言空间运动精度的测量仪器及方法有激光跟踪仪、经纬仪、工业摄影测量、iGPS等。与其他仪器相比，激光跟踪仪具有精度高、动态性能好等优点，是测量工业机器人运动误差的常用仪器。激光跟踪器可以主动跟踪固定在移动目标上的反射器，并通过记录到反射器的径向距离以及两个正交的方位角来提供球坐标系中的位置数据。Lau等人进行了激光跟踪仪的早期研究，分析了旋转轴误差和激光束对准误差对空间测量精度的影响1,2。Loser等人提出了激光跟踪仪的标定方法，并建立了 基 于 多 体 系 统 理 论 的 误 差 分 析 模 型 3。Muralikrishnan等人分析了激光跟踪仪的装配误差，如垂直轴与水平轴的相对偏差、激光束的位置偏差、编码器的偏心等，并建立了完整的误差分析系统4。为了简化激光跟踪仪的误差补偿方法，Conte等人建立了基于DH理论的误差模型5。周维虎等人推导出激光跟踪仪几何误差数学模型，并设计实验实现误差分离与标定6。张和君等人建立包含19项误差的激光跟踪仪运动学模型，采用空间圆平面约束标定法标定误差，并通过数值优化求解误差参数7。在激光跟踪仪中，旋转轴的角度测量误差对仪器的测量精度影响很大。Ouyang等人使用坐标测量机校准激光跟踪仪角度误差8。卢荣胜等人采用多面棱体作为角度比对仪器，并配合自准直仪标定了激光跟踪仪角度编码器的测角误差9。为了简化跟踪伺服系统，研究人员开发了一些原理简单的仪器实现被动跟踪来测量目标的空-19-仪器仪表与分析监测2023年第1期图1被动式跟踪测量系统的结构示意图图2伸缩机构结构示意图间坐标，如伸 缩球杆（DBB）10和激 光球杆（LBB）11。它仍然需要多点测量方法来测量目标的空间位置。作者团队将伸缩机构应用于激光跟踪测量方法中，开发了三维被动式激光跟踪仪（3DPLT），实现了工业机器人等设备空间位置坐标的测量12-14。本文提出了一种用于测量目标空间坐标的被动式跟踪测量系统，也采用了类似于3DPLT的被动跟踪原理。测量系统使用光栅尺来测量伸缩机构的位移，而不是激光干涉仪，以降低制造成本。本文分析了测量系统的主要误差源，根据基于旋量理论建立了误差补偿模型。1被动式跟踪测量系统的原理如图1所示，被动式跟踪测量系统包括一个二维旋转平台和一个径向伸缩机构。伸缩机构由直线导轨（包括一个导轨和两个滚珠轴承滑块）、固定板和移动板组成。移动板的末端固定标准球，标准球可以通过磁性插座被移动目标夹持，从而驱动伸缩机构和二维旋转台在空间自由移动。针对伸缩机构的运动误差影响被动式跟踪测量系统的测量精度问题，将激光器固定在水平轴上，激光束垂直于水平轴并通过水平轴与竖直轴的交叉点，投射到PSD上实现实时测量末端标准球处的直线度误差，如图2所示。伸缩机构的移动距离由直线光栅测量，二维转台的旋转角度由各自的圆光栅测量。竖直轴的转角为，水平轴的转角为，伸缩机构伸缩的长度为R。2被动式跟踪测量系统的误差建模2.1测量系统误差分析图1中，测量系统基准坐标系为O-XYZ，竖直 轴、水 平 轴 和 伸 缩 轴 的 坐 标 系 分 别 用Oi-XiYiZi(i=1,2,3)表示。以竖直轴的轴承中心点O定义为原点，以竖直轴回转轴线为Z轴，以竖直轴角度为零时的水平轴线为X轴，建立基准坐标系。水平轴坐标系原点为竖直轴与水平轴线的交点。伸缩轴坐标系原点为标准球的中心。其中，基准坐标系与竖直轴坐标系重合。但是，被动式跟踪测量系统在制造和安装中存在误差影响仪器测量精度，需要进行测试和补偿。竖直轴与水平轴之间存在方向误差（）和偏移误差（y）。水平轴与伸缩轴的激光束之间存在方向误差（)和偏移误差(x,z)。伸缩机构存在直线度运动误差（x,z）。图3所示为测量系统的误差示意图。图3运动误差示意图-20-图4测量系统的初始位置及运动旋量此外，竖直轴和水平轴的角度定位误差和伸缩机构的位移测量误差也是被动式跟踪测量系统中的重要误差，可以通过自准直仪或干涉仪进行校准和补偿。2.2基于旋量理论的测量系统运动学误差建模一个刚体从一个位姿到另一个位姿运动分为两部分:围绕空间某一直线的旋转运动及沿平行于该直线的平移运动，这种组合运动称为旋量运动15。螺旋运动的无穷小量即称为旋量。旋量集2个矢量于一体，可以表示刚体运动中的速度和角速度。单位旋量表示为：（1）式 中，为 瞬 时 角 速 度，为线速度。其中v可以表示为：（2）式中，q为旋转轴轴线上一点。为了与刚体运动的齐次坐标表达方式一致，引入六维矢量逆运算符：（3）式中，是如下形式的33反对称矩阵：（4）其矩阵指数可以表示刚体变换，计算公式为：（5）式中，为标量，表示旋转角度或者移动量；可以通过下式计算：（6）被动式跟踪测量系统主要由两个旋转轴和一个平动轴组成。初始位置时，三个轴之间两两互相垂直。测量系统的初始位置，如图4所示。初始位置时，基准坐标系到伸缩轴坐标系的变换为：（7）式中，H0为竖直轴坐标系原点到水平轴坐标系原点沿Z轴的距离，经过测量H0=180mm；R0为水平轴坐标系原点到标准球球心的距离，经过测量可得R0=579.6mm。绕 竖 直 轴 的 旋 转 运 动对 应 于 以 经 过 点q1=0 00T的矢量wC=0 01T为轴的旋量。对应的运动旋量为：（8）其矩阵指数形式为：（9）绕 水 平 轴 的 旋 转 运 动对 应 于 以 经 过 点的矢量为轴的旋量。对应的运动旋量为：（10）其矩阵指数形式为：（11）基于旋量理论的被动式跟踪测量系统误差分析与补偿林钰淇，等-21-仪器仪表与分析监测2023年第1期沿伸缩轴的平移运动R对应于以单位向量为轴的旋量。对应的运动旋量为：（12）其矩阵指数形式为：（13）当C轴旋转角度、A轴旋转角度和Y轴移动R距离后，伸缩轴坐标系统相对于基准坐标系的变换为：（14）则标准球中心在基准坐标系中的坐标可以表示为：（15）每一项误差参数引起的刚体变换都可以采用一个运动旋量来表示。表1列举了使用旋量理论对测量系统误差建模的参数。则可以得到测量系统包含误差的运动学模型为：（16）经旋量误差模型补偿后，标准球中心在基准坐标系中的坐标可以表示为：（17）3被动式跟踪测量系统的误差测量与校准1）水平轴方向误差理想情况下，二维旋转台的水平轴和竖直轴应垂直相交。然而，由于装配误差，水平轴的方向误差和偏移误差通常是不可避免的。如图5所示，为了测量水平轴的方向误差，在水平轴的两端分别固定了两个平面镜，并使用自准直仪来测量水平轴的方向误差16。首先，调整平面镜1的姿态，使测量的倾斜角度在水平轴旋转时保持不变，此时，镜子垂直于水平轴；竖直轴应旋转180度，调整平面镜2的姿态。其次，在竖直轴位于图5所示初始位置时，读取自准直仪测量平面镜1的倾斜角度。然后，将竖直轴旋转180度，自准直仪读取平面镜2的倾斜角度。自准直仪在竖直方向上的变化是水平轴方向误差的两倍，测量数据如表2所示，方向误差为129.2。2）水平轴偏移误差两面测试方法17用于测量水平轴相对于竖表1基于旋量理论的测量系统误差建模参数图5水平轴方向误差测量表2水平轴方向误差的测量数据组别12345角度变化值/（）258.3257.6258.9259.1258.1平均变化值/（）258.4方向误差/（）129.2-22-直轴的偏移量y。图6（a）所示为二维旋转台的前视位置，其中水平轴和竖直轴的旋转角度均为零。平面镜固定在水平轴中心块上，自准直仪读取镜子的倾斜角度。然后，水平轴和竖直轴都旋转180，此时为后视位置。自准直仪再次测量平面镜的角度。重复以上操作并调整平面镜姿态，直到自准直仪在两个方向上的示数都没有变化，此时，平面镜已调整为平行于水平轴与竖直轴。采用万分表（型号为SYLVAC 805.8601，分辨率为0.1m）测量二维旋转台在前视位置和后视位置时平面镜的位置变化，如图6（b）所示。水平轴偏移量为万分表示数变化的 二分之一。测 量 数 据 如 表3所 示，水 平 轴 偏 移 误 差 为-86.5m。3）激光束的偏移和方向误差激光束是测量伸缩机构运动误差的基准，应通过水平轴与竖直轴轴线的交点，并垂直于水平轴。但是，因为安装误差的存在，激光束与水平轴之间存在偏移和方向误差。为了测量激光束的偏移和方向误差，首先将不带伸缩机构的被动式跟踪测量系统旋转到图7所示的初始位置。AB和CD分别是理想的和实际的激光束。EF为CD在水平面上的投影，平行于AB。角度是方向误差，z和x分别是Z轴和X轴方向的偏移误差。PSD放置在距离水平轴与竖直轴轴线为L0的位置处。激光束照射在PSD上的光斑位置为点D，其读数分别为Z11和X11。然后，竖直轴和水平轴都旋转180。PSD继续测量激光光斑的位置，读数分别为Z12和X12。激光束沿Z轴方向的偏移误差z的计算公式为：（18）PSD沿Y轴方向移动，测量系统与PSD之间图6水平轴偏移误差测量表3水平轴偏移误差测量数据组别12345示数变化/m-172.2-172.5-171.8-174.1-173.7平均变化/m-172.9y/m-86.5图7激光束偏移和方向误差的测量基于旋量理论的被动式跟踪测量系统误差分析与补偿林钰淇，等-23-仪器仪表与分析监测2023年第1期的距离扩大到L0+L，重复上述测量。其中，当测量系统处于初始位置时，PSD沿X轴方向读数为X21。当竖直轴和水平轴都旋转180后，PSD沿X轴方向读数为X22。则激光束的方向误差和沿X轴方向的偏移误差x的计算公式为：（19）（20）进行了测量实验，L0和L分别为100mm和50mm，测量数据见表4。偏移误差x为57.3m，偏移误差z为188.9m，方向误差为142.5。4）伸缩机构末端的直线度误差图2中，当伸缩机构处于不同位置时，末端的直线度误差会发生变化，这是通过激光束照射到PSD上实时测量的。图8显示了伸缩机构在水平位置时直线度误差的测量结果。5）圆光栅和直线光栅的测量误差使 用 自 准 直 仪（天 津ATMV，Automat1000UH-3050，精度0.2）和多面棱体（AUBAT-Q24，1级精度)标定圆光栅的测角误差，如图9所示。经过误差补偿后，两轴的测角误差均小于2。直线光栅用于测量伸缩机构的位移。在伸缩机 构 处 于 不 同 伸 长 位 置 时，采 用 激 光 干 涉 仪（MCV-500激 光 多 普 勒 干 涉 仪，定 位 精 度 为1.0ppm（1m/m），分辨率为0.01m）进行校准，如图10所示。经误差补偿后直线光栅的测量误差小于2m。4基于旋量理论的误差模型实验验证测量完所有误差参数后，代入公式（16）进行补偿。使用坐标测量机（CMM）作为标准比对仪器，进行误差模型的验证实验。如图11所示，CMM驱 动 被 动 式 跟 踪 测 量 系 统 移 动，在450450200mm空间内测量180个空间点，验证误差补偿模型。在验证误差模型的补偿效果前，需要将被动式跟踪测量系统的坐标系变换到CMM的坐标系下，方便进行比对。本文采用一种线性模型求解转换矩阵18。如图12所示，设被动式跟踪测