基于矩阵半张量积求解弱双四元数调节方程_袭沂蒙.pdf

文章编号:1 6 7 3-5 1 9 6(2 0 2 3)0 1-0 1 5 2-0 6基于矩阵半张量积求解弱双四元数调节方程袭沂蒙,李 莹*,刘志红,孙建华(聊城大学 数学科学学院,山东 聊城 2 5 2 0 0 0)摘要:基于矩阵半张量积及弱双四元数的实向量表示,将弱双四元数调节方程A1X-A2X B=C转化为无约束的实矩阵方程,利用实矩阵方程得到弱双四元数调节方程的(a n t i-)H e r m i t i a n解,通过数值实验检验了此方法的有效性,并将此方法应用于时变线性系统的连续归零动力学设计.关键词:调节方程;矩阵半张量积;实向量表示;弱双四元数矩阵中图分类号:O 2 4 1.6 文献标志码:AS o l v i n gr e d u c e db i q u a t e r n i o nr e g u l a t i n ge q u a t i o nb a s e do ns e m i-t e n s o rp r o d u c t o fm a t r i c e sX IY i-m e n g,L IY i n g,L I UZ h i-h o n g,S UNJ i a n-h u a(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,L i a o c h e n gU n i v e r s i t y,L i a o c h e n g,2 5 2 0 0 0 C h i n a)A b s t r a c t:B a s e do nt h es e m i-t e n s o rp r o d u c to fm a t r i c e sa n dt h er e a lv e c t o rr e p r e s e n t a t i o no fr e d u c e db i q u a t e r n i o n,t h ep r o b l e mo f r e d u c e db i q u a t e r n i o n r e g u l a t i n ge q u a t i o n sA1X-A2X B=Ci s t r a n s f o r m e d i n-t oam a t r i xe q u a t i o no nr e a l n u m b e r f i e l dw i t h o u t c o n s t r a i n t,a n d t h e n t h e(a n t i-)H e r m i t i a ns o l u t i o no f r e-d u c e db i q u a t e r n i o nr e g u l a t i n ge q u a t i o n s i so b t a i n e db yu s i n gr e a lm a t r i xe q u a t i o n.T h ee f f e c t i v e n e s so f t h i sm e t h o d i sv e r i f i e db yn u m e r i c a l e x p e r i m e n t s.F i n a l l y,t h i sm e t h o d i sa p p l i e dt o t h ec o n t i n u o u s z e r o i n gd y-n a m i c sd e s i g no f t i m e-v a r y i n g l i n e a rs y s t e m s.K e yw o r d s:r e g u l a t i n ge q u a t i o n;s e m i-t e n s o rp r o d u c to fm a t r i c e s;r e a lv e c t o rr e p r e s e n t a t i o n;r e d u c e db i q u a t e r n i o nm a t r i x 本文所使用的符号:R/R BQ:实数集合/弱双四元数 集 合,Rn:n维 实 列 向 量 集 合,Rnn/R BnnQ/R BnnHQ/R BnnA Q:nn实矩阵/弱双四元数矩阵/弱双四元数H e r m i t i a n矩阵/弱双四元数a n t i-H e r m i t i a n矩阵集合,A+/AT:A的广义逆/转置,:矩阵的F r o b e n i u s范数或向量E u c l i d e a n范数.in:单位阵In的第i列,:矩阵半张量积,:K r o n e c k e r积.矩阵方程是矩阵理论的一个重要分支,它不仅在理论上具有重要意义,而且在力学、控制论等众多领域都有广泛的应用1,因此矩阵方程的求解就显得十分重要.调节方程是工程领域上常用的一种矩 收稿日期:2 0 2 2-0 3-0 3 基金项目:国家自然科学基金(6 2 1 7 6 1 1 2),山东省自然科学基金(Z R 2 0 2 0 MA 0 5 3)通讯作者:李 莹(1 9 7 4-),女,山东聊城人,博士,教授.E m a i l:l i y i n g l d 1 6 3.c o m阵方程,例如,基于负比值的计量供热间连网质调节方程2,水轮机流量调节方程3,基于负荷系数的固定供水温度调节方程4,控制理论中控制系统输出调节方程5等.本文研究弱双四元数调节方程A1X-A2X B=C(1)四元数是爱尔兰数学家H a m i l t o n在1 8 4 3年提出的数学概念,四元数是复数的不可交换延伸.在位姿计算和变换、运动子和动力子的分析与控制、信号控制、刚体运动、量子力学等多个领域都能找到四元数的影子6.四元数乘法不满足交换律使得四元数在卷积(D R B C V)和相关性(D R B C R)的实现及四元数L T I系统的分析变得复杂7,这在一定程度上促进了乘积可交换的四元数的提出.弱双四元数是一种可交换四元数,其在彩色图像与信号处理等领域有着重要应用.例如,模糊图像的恢复和图像的降噪8、两种多状态的H o p f i e l d神经网络9等.矩阵半张量积作为一种新的矩阵乘法得到了国第4 9卷第1期2 0 2 3年2月兰 州 理 工 大 学 学 报J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g yV o l.4 9 N o.1F e b.2 0 2 3内外学者越来越多的关注,因其打破了传统矩阵乘法受维数限制的壁垒,在推广和简化矩阵乘法上有着重大的研究意义1 0.目前矩阵半张量积作为一个便捷而有力的数学工具,已经被广泛应用于有限博弈1 1、布尔网络的分析与控制1 2、多值控制网络最优决策1 3、随机模糊逻辑、系统的控制器设计1 4等领域中.本文将矩阵半张量积作为工具研究弱双四元数调节方程(1)的以下问题.问题1 设A1,A2R BmnQ,BR BnnQ,CR BmnQ,记S1=X|X R BnnHQ,A1X-A2X B=C寻找XHS1,满足XH=m i nXSX,称XH为(1)的极小范数H e r m i t i a n解.问题2 设A1,A2R BmnQ,BR BnnQ,CR BmnQ,记S2=X|XR BnnA Q,A1X-A2X B=C寻找XAS2,满足XA=m i nXSX,称XA为式(1)的极小范数a n t i-H e r m i t i a n解.1 预备知识定义11 5 设xR BQ,x可以表示成x=x1+x2i+x3j+x4k,其中x1,x2,x3,x4R,i,j,k满足i2=k2=-1,j2=1,i j=j i=k,j k=k j=i,k i=i k=-j.定义21 6 设矩阵ARmn,BRpq,定义A和B的半张量积为AB=(AIt/n)(BIt/p)其中t为n和p的最小公倍数.注1 从 上 面 定 义 可 以 看 出,当n=p时,AB=A B,矩阵半张量积就退化成了传统矩阵乘积,因此矩阵半张量积是传统矩阵乘积的一种推广,保留了传统矩阵乘积的性质,除此之外,矩阵半张量积在交换性方面也有一定的突破.引理11 6 设XRn为一列向量,A为一任意矩阵,则XA=(InA)X.引理21 6 设XRm,YRn为两个列向量,则Wm,nXY=YX,其中Wm,n=In1m,In2m,Inmm 引理31 7 设ARmn,bRm,则线性方程组A x=b有解的充分必要条件是A A+b=b.这时,A x=b的通解是x=A+b+(I-A+A)y,其中yRn是任意的.定义31 6 设Wi(i=0,1,n)为一组向量空间,映 射F:ni=1WiW0为 多 线 性 映 射,若d i m(Wi)=ki且1ki,2ki,kiki 为Wi的基底,记 F j1k1,j2k2,jnkn()=k0s=1cj1,j2,jnssk0 jt=1,kt,t=1,n则称cj1,j2,jnsjt=1,kt,t=1,n;s=1,k0为F的结构常数.将结构常数按s分组,每组按字典排序排成一行,再依s的顺序排成一个矩阵,可得MF=c1 111c1 1kn1ck1k2kn1c1 112c1 1kn2ck1k2kn2c1 11k0c1 1knk0ck1k2knk0MF称为F的结构矩阵.2 弱双四元数矩阵的实向量表示和性质为了更好地理解弱双四元数矩阵的实向量表示,先定义弱双四元数的实向量表示.定义4 设x=x1+x2i+x3j+x4kR BQ,称vR(x)=(x1,x2,x3,x4)T为x的实向量表示.借助弱双四元数的实向量表示,可以得到弱双四元数的乘积与因子的向量化表示之间的如下关系.定理1 设x,yR BQ,则vR(x y)=MR QvR(x)vR(y)(2)其中MR Q=1 0 0 0 0-1 000 0 1 0 000-10 1 0 0 10000 0 0 1 00100 0 1 0 000-1 1 0 0 0 0-1 000 0 0 1 00100 1 0 0 1000 证明 设x=x1+x2i+x3j+x4k,y=y1+y2i+y3j+y4k,则vR(x)=x1,x2,x3,x4()TvR(y)=y1,y2,y3,y4()T因为x y=x1y1-x2y2+x3y3-x4y4+(x1y2+x2y1+x3y4+x4y3)i+(x1y3-x2y4+x3y1-x4y2)j+351第1期 袭沂蒙等:基于矩阵半张量积求解弱双四元数调节方程 (x1y4+x2y3+x3y2+x4y1)k可以得到等式(2)的左边为vR(x y)=x1y1-x2y2+x3y3-x4y4x1y2+x2y1+x3y4+x4y3x1y3-x2y4+x3y1-x4y2x1y4+x2y3+x3y2+x4y1又因为等式(2)的右边为MR QvR(x)vR(y)=MR QvR(x)vR(y)()=x1y1-x2y2+x3y3-x4y4x1y2+x2y1+x3y4+x4y3x1y3-x2y4+x3y1-x4y2x1y4+x2y3+x3y2+x4y1所以定理1成立.定义5 设x=(x1,xn)T,y=(y1,yn)T,其中xi,yiR BQ,分别称vR(x)=vR(x1)vR(xn)vR(y)=vR(y1)vR(yn)为弱双四元数向量x和y的实向量表示.对于弱双四元数向量的实向量表示,不难发现有以下结论.定理2 设x=x1,xn(),x=(x1,xn),y=(y1,yn)T,aR,xi,xi,yiR BQ,则(a)vR(x+x)=vR(x)+vR(x),vR(a x)=a vR(x);(b)vR(x y)=MR Q(ni=1(in)T(I4n(in)T)vR(x)vR(y).证明(a)显然成立,下证(b).利用定理1,可得vR(x y)=vR(x1y1+x2y2+xnyn)=MR QvR(x1)vR(y1)+MR