基于混合指数型损失厌恶函数的投资组合模型_温利民.pdf

收稿日期:2022-10-15基金项目:国家自然科学基金(71761019)资助项目作者简介:温利民(1979)，男，江西石城人，教授，博士，博士生导师，主要从事精算学与金融统计推断的研究 E-mail:wlmjxnu163 com温利民，冯会珍，李俊雪，等 基于混合指数型损失厌恶函数的投资组合模型 J 江西师范大学学报(自然科学版)，2023，47(1):1-7WEN Limin，FENG Huizhen，LI Junxue，et al The portfolio model based on mixed exponential loss aversion function J Journal ofJiangxi Normal University(Natural Science)，2023，47(1):1-7文章编号:1000-5862(2023)01-0001-07基于混合指数型损失厌恶函数的投资组合模型温利民1，2，冯会珍1，李俊雪1，周景萃1(1 江西师范大学数学与统计学院，江西 南昌330022;2 江西师范大学管理科学与工程研究中心，江西 南昌330022)摘要:结合前景理论的核心思想，该文从期望效用最大化的角度研究不同风险资产的配置问题 在线性损失厌恶函数的基础上，该文结合指数效用函数的性质，提出了一个新的效用函数 混合指数型损失厌恶函数，建立了混合指数型损失厌恶投资组合(MELA)模型，并对中国股票市场数据进行实证研究，得出MELA 模型优于均值-方差模型的结论关键词:损失厌恶;效用函数;投资组合中图分类号:F840 48;F 224文献标志码:ADOI:10 16357/j cnki issn1000-5862 2023 01 010引言一直以来，最优投资策略都是国内外学者广泛关注的问题 从 1937 年 J M Keynes1 提出的选美理论到 1944 年 J von Neumann 等2 提出的期望效用理论，到 1952 年 H Markowitz3 提出的现代投资组合理论，再到 1959 年 M F M Osborne4 提出的随机游走理论和 1965 年 E F Fama5 提出的有效市场假说，这些成为传统的最优投资策略研究的理论基石期望效用理论描述了理性投资者在风险条件下的决策行为 然而，在现实中期望效用理论并不能完全解释投资者的决策行为，因为投资者的情绪、认知等复杂的心理因素会直接影响其决策行为，所以在很多情况下期望效用理论与现实情况是不相符合的，如阿莱悖论和埃尔斯伯格悖论等 这些与传统期望效用理论不一致的现象促使新的理论不断涌现最著名的理论之一是 D Kahneman 等6-7 提出的前景理论，他们从心理学的角度来研究投资者的决策行为，提出损失厌恶的概念，指出在一定的参照收益点下人们对损失比对盈利更敏感，用 S-型损失厌恶效用函数去代替传统的凹效用函数，提出具有损失厌恶特征的投资组合决策问题国内外学者对具有损失厌恶特征的投资组合决策问题进行了一系列研究 C Fulga8 将投资者的损失厌恶偏好纳入传统的均值-方差(M-V)模型中，构建组合收益分布的下方风险度量，分析了损失厌恶系数对模型最优解的影响 Wang Jia 等9 研究了损失厌恶行为对多期投资决策的影响 A B Berke-laar 等10 将在基于前景理论的 S-型损失厌恶函数下投资者的最优投资组合权重与在基于期望效用理论的凹形幂效用函数下投资者的最优投资组合权重进行了比较 He Xuedong 等11 提出了以参照点、S-型损失厌恶效用函数和概率加权为特征的单期投资组合选择模型 V Kobberling 等12 提出了 S-型指数损失厌恶效用函数，当收益变化率比较小时，该函数比 S-型损失厌恶效用函数更敏感 张小涛13 提出了对数损失厌恶效用函数，该效用函数克服了在前景理论中投资者在面对损失时一直是风险喜好的不足，并对中国股票市场数据进行了实证分析，证实了中国股票投资者普遍存在损失厌恶的现象 刘慧晖14 将双曲绝对风险规避(HAA)函数引入 S-型损失厌恶效用函数中，提出了 S-型双曲绝对风险规第 47 卷 第 1 期江西师范大学学报(自然科学版)Vol 47 No 12023 年 1 月Journal of Jiangxi Normal University(Natural Science)Jan 2023避(S-HAA)效用函数 Jin Xiu 等15 基于不确定性理论建立了同时考虑损失厌恶效用、流动性风险和多样化程度的多周期 3 个目标的不确定性投资组合模型 为了方便计算，一些学者将 S-型损失厌恶函数简化成线性损失厌恶函数 I Fortin 等16 研究了线性损失厌恶投资组合模型与 M-V、M-CVa 投资组合模型具有相同最优解的条件，并对欧美股票市场进行了实证分析 E de Giorgi 等17 指出线性损失厌恶投资组合模型和 S-型损失厌恶投资组合模型具有近似相等的最优解 T A Pirvu 等18 研究了具有 S-型损失厌恶、S-型指数损失厌恶和线性损失厌恶的这 3 类效用函数的投资者在由无风险债券和多个风险股票构成的单阶段投资组合下的最优资产配置策略，并讨论了这种权重分配方案和基于均值-方差理论的投资组合模型之间的差异 叶丹19 基于前景理论建立了在线性损失厌恶函数和 S-型非线性效用函数下的期望效用最大化模型，并对美国股票市场实证分析，验证了所建模型的合理性和有效性然而，当投资收益高于参照收益点时，线性损失厌恶效用函数在投资面对盈利时不满足边际效用递减规律 因此，本文在线性损失厌恶函数的基础上结合指数效用函数，构建混合指数型损失厌恶投资组合(MELA)模型，并进行实证研究1混合指数型损失厌恶的效用函数D Kahneman 等6-7 创立的前景理论，从心理学角度来研究投资者的投资决策行为，发现投资者在进行投资时更关心的是最终收益与他们所预设的参照收益之间的差距，并且相同的损失和相同的盈利给他们带来的边际效用是不相等的，他们将这种心理特征称为损失厌恶 它描述的是相对于给定的参照收益点，投资者对损失所带来的敏感程度大于对盈利所带来的敏感程度，具体包括 2 种行为特征:1)投资者利用参照收益点衡量损失和盈利，当收益小于参照收益点时定义为损失，当收益大于参照收益点时定义为盈利;2)相对于参照收益点，相同的损失和盈利所带来的边际效用是不相等的，其中前者效用大于后者效用 根据投资者的损失厌恶特征，D Kahneman 等6 构造了 S-型损失厌恶效用函数，具体定义如下:U(y)=(y y)，y y，(y y)，y y从直观地来看，S-型损失厌恶效用函数是分段幂函数，y为投资者的参照收益点;和 是风险规避系数，该系数越大表明投资者对风险的厌恶程度越高，一般满足0 ，1;是损失厌恶系数，它反映的是损失的边际效用大于盈利的边际效用的程度，一般 1进一步地，考虑 S-型损失厌恶效用函数的特殊形式，I Fortin 等 16 提出了线性损失厌恶效用函数:U(y)=y，y y，(1+)y y，y y注意到，当 y y时，投资者的收益大于参照收益点，从而有较大的效用，但随着收益的增加，边际效用呈递减的趋势20 而在文献 16中的效用总是 y的线性函数，在实际中不能解释这种边际效用递减特征 综上所述，考虑损失厌恶效用函数:U(y)=(1 e(y y)/+y，y y，y (y y)，y y，称之为混合指数型损失厌恶函数记(x)+=max x，0，则 U(y)可表述为U(y)=(1 e(y y)+)/+y (y y)+根据 U(y)的表达式，若投资者的财富 y 高于 y，则投资者是风险厌恶型的;若投资者的财富 y 低于 y，则投资者是风险喜好型的 这与大多数投资者的投资心态相吻合 容易得到 U(y)的图形(见图 1)图 1混合指数型损失厌恶函数从图1 中可看出:当 y y时，U(y)是 y 的线性函数，斜率为 1+，它反映了投资者喜好风险的态度;当 y y时，曲线是凹形的，它反映了投资者是风险厌恶型的，其边际效用呈递减的趋势2基于混合指数型损失厌恶函数的投资组合模型2 1多元风险的投资组合模型假设有 n 个风险资产组成的投资组合，其收益2江西师范大学学报(自然科学版)2023 年率分别为 r1，r2，rn 设投资者投资在各个风险资产上的比例分别为 x1，x2，xn 在不允许卖空的前提下，有ni=1xi=1 且 xi 0，1，则基于混合指数型损失厌恶效用函数的期望效用最大化模型(MELA)可以描述为maxxnME(x)=maxxn(E(1 e(rx y)+)/+rx(y rx)+)ni=1xi=1)，(1)其中 r=(r1，r2，rn)，x=(x1，x2，xn)引理 1若风险资产收益率服从正态分布，即r N(，)，其中 n，nn分别是均值向量和协方差矩阵，则 ME(x)为ME(x)=(1 ()Q)/+P，其中Q=e2xx/2+xx(1 (+xx)，P=x xx()+()，这里 =(y x)/xx，()与()分别为标准正态分布的密度函数和分布函数证记 Z=rx 由于 r N(，)，所以 Z N(x，xx)注意到E(e(Z y)+)=+y12xxexp(z x)2/(2xx)(z y)dz=exp(y x+2xx/2)+y12xxexp(z x+x x)2/(2xx)dz=exp(y x+2xx/2)(1 (y x+xx)/xx)=Q，E(Z (y Z)+)=x yy z2xxexp(z x)2/(2xx)dz=x xx(y x)(y x)/xx)/xx+(yx)/xx)=P，则 ME(x)=(1 ()Q)/+P 引理1 得证推论1设r N(，)，则最优投资组合问题(1)的解等价于maxxnME(x)=maxxn(1 ()Q)/+Pni=1xi=1)2 22 元资产的最优投资策略显然，最优化问题(1)是n元极值问题，其最优解依赖于n元随机变量r的分布 在大多数情况下无显示解，为了简化，考虑在 2 元资产条件下的最优投资策略假设仅有 2 种投资:一种是风险投资，收益率为r;另一种是无风险投资，收益率为 rf 设 x 与(1 x)分别为投资者投资在该 2 种资产上的比例，则总投资收益率为(x)=rx+rf(1 x)在混合指数型损失厌恶的效用函数下，最优投资组合问题为maxx 0，1 ME(x)=maxx 0，1 E(1 e(x)y)+)/+(x)(y(x)+)(2)接下来分析当风险资产收益率 r 分别服从两点分布和连续分布时最优化问题(2)的最优解情况首先，假设风险资产的收益率 r 服从离散型分布P(r=rh)=p=1 P(r=rl)，其中 rh表示高收益率，rl表示低收益率，且满足 rlrf rh，称之为 2 元离散型分布投资组合模型根据实际情况，不妨设 y rf，否则投资者将全部资产投资于无风险资产 在混合指数型损失厌恶的效用函数下，最优投资问题为maxx 0，1(p(1 e(h(x)y)+)/+(1 p)(1 e(l(x)y)+)+ph(x)+(1 p)l(x)(p(yh(x)+(1 p)(y l(x)+)，(3)其中 h(x)=rf+(rh rf)x，l(x)=rf+(rlrf)x定理 1设风险资产的收益率 r 服从两点分布P(r=rh)=p=1 P(r=rl)，无风险资产的收益率为 rf，令 rl rf rh且 rf满足 E(r rf)0，记*=(p(rh rf)+p(rh rl)+rl rf)/(1 p)(rf rl)，则1)当 ln(p(rh rf)/(1 p)(rf rl)p(rhrl)rl+rf)(rh y)/(rh rf)且 y rh时，最优化问题(3)的最优解为x*=(ln(p(rh rf)/(1 p)(rf rl)p(rh rl)rl+rf)/(rh rf)+(y rf)/(rh rf)，0 *，(y rf)/(rh rf)，*2)当 ln(p(rh rf)/(1 p)(rf rl)p(rhrl)rl+rf)(rh