基于傅里叶分解合成的大学物理实验常见信号产生原理分析_孙国威.pdf

第 35 卷第 6 期大学物理实验Vol35 No62022 年 12 月PHYSICAL EXPEIMENT OF COLLEGEDec2022收稿日期:2022-02-25基金项目:资助项目 2021 年江西省学位与研究生教育教学改革研究项目(JXYJG-2021-062)*通讯联系人文章编号:1007-2934(2022)06-0122-05基于傅里叶分解合成的大学物理实验常见信号产生原理分析孙国威，刘忠民*，徐元国*，郭琴(江西师范大学，江西 南昌330022)摘要:实验教学时，正弦波等信号是如何产生的?许多学生感到迷茫。本文从信号合成及电路整流滤波两方面简要讨论如何获得所需的信号，从而帮助学生基于理论高度对正弦波等信号的产生原理有一定认知。本文在激发学生学习兴趣和培养学生探究能力方面有一定积极作用。关键词:傅里叶级数 正弦波信号 方波信号 锯齿波信号 三角波信号中图分类号:O 4-34文献标志码:ADOI:1014139/jcnkicn22-1228202206025级数展开的极限思想让能够从简单易得的信号出发，通过选择合适的信号基底进而合成一系列复杂的信号。信号合成对于周期性信号来说这几乎是万能的方法，其中苏武浔、张渭滨、王建成便对运用傅里叶级数的逆变换运算来分析常见波形进行了讨论。杨亚丽运用该方法在工程实践背景下的周期性方波信号分解与合成 一文中对方波信号进行了分析，并运用模拟电子技术、单片机原理等相关知识在一定精度上实现了方波信号的合成。本文总结已有研究成果并沿用信号合成的方法，结合部分电子电路知识分析了方波、锯齿波、三角波信号，并同时对基底信号的发生与转换进行了一定的分析。1正弦波信号正弦波信号是接触最多也是最容易获得的信号，图 1 所示是发电机的抽象模型，匝数为 N 的线圈在磁感应强度为 B 的磁场中以角速度 旋转时，得到 E=NBSsin(t+0)的正弦信号。实际发电机中由于线圈匝数太多、重量过大，常常会采取旋转磁场的方式来发电。改变线圈或磁场的角速度，能够得到不同频率的正弦信号。我国市电是频率为 50 Hz 的正弦交流电，用户要得到不同频率的正弦波信号，需附加电路。图 1发电机抽象模型通过一个变压器可改变正弦信号的振幅。但要改变正弦信号的频率，通常是将交流电经整流滤波变为直流电后，再经开关电路把直流电变成交流电。图 2 是一个全波整流电路，在输入端输入交流电后，在输出端得到直流电，将直流电输入到逆变电路，得到不同频率的交流电。图 2整流滤波电路图 3 是逆变器的简单模型，开关 S1与 S4为同时工作的第一组，开关 S2与 S3为同时工作的第二组，当第一组与第二组交替闭合、断开时，输出端得到交流电。图 3开关电路2方波信号方波信号是最常见的脉冲信号，常常用于表示信息、作为载波等。要得到方波信号，从理论上可以通过合成的方式获得，即选择一组合适的信号基底，经电路合成得到方波。基底信号选择的重要标准之一是常见易得，正(余)弦波信号的一系列特点符合基底的要求，因此常被选为基底信号。可对信号进行逆向运算，由目标信号出发，选择正弦函数与余弦函数作为基底进行傅里叶级数展开，明确需要何种频率和振幅的基底信号。方波信号可表示为:I(t)=a0+k=1akcos2ktT+bksin2ktT()(1)其中I(t)为目标信号，cos2ktT与sin2ktT为一系列的基底信号，其频率随 k 变化而变化，a0为对应的直流信号部分，ak与 bk分别为对应的余弦信号和正弦信号的振幅，其大小随 k 变化而变化。其中a0=1TT2T2|(t)dt(2)ak=2kTT2T2I(t)cos2ktTdt(3)其中k=2k=01k 0(4)bk=2TT2T2I(t)sin2ktTdt(5)方波的图像如图 4 所示，其波函数为图 4方波信号I(t)=anT t T2+nT aT2+nT t n+1()T(n Z)(6)使用傅里叶级数分解展开为一系列的的正弦信号。为了处理简便，人为将信号函数调整为奇函数，当I(t)为奇函数时级数中的系数a0与ak将为 0，这将极大的简便的运算。于是级数形式变为I(t)=k=1bksin2ktT()(7)对于方波信号而言bk=2T0T2 asin2ktTdt+T20asin2ktTdt()bk=4akk 为奇数(8)即可以用一系列振幅为4ak，频率为2kT的正弦信号来合成所需方波:I(t)=k=14aksin2ktT()k 为奇数I(t)=4a(sint+13sin3t+15sin5t+)(9)321第 6 期孙国威，等:基于傅里叶分解合成的大学物理实验常见信号产生原理分析通过信号合成的方法合成方波信号，在理论上精度能够无限趋近真实方波信号，现实中具有一定的可操作性，但无法避免一些问题，如:通常只能使用有限数量的正弦信号进行叠加，无法实现无限数量叠加。实际操作中还有获得方波的其他途径，图 3所示电路中于输入端输入标准直流信号，开关S1、S4(同步工作)与开关 S2、S3(同时工作)交替闭合断开，输出端可得所需方波信号。也可通过如图 5 所示的限幅电路来得到方波。图 5限幅电路在输入端输入正弦波信号，通过两个二极管的限幅作用将正弦信号的两端削平(如图 6 所示)，输出端可得到近似方波信号，再通过特定的积分电路便能提高所得信号的精度。图 6限幅构想图3锯齿波信号锯齿信号常用作示波器以及老式 CT 电视机的扫描信号。实验时也可通过合成的方法获得锯齿波信号。同方波的情形一样，可以人为的将锯齿波信号构建成奇函数的形式，以便更加简便地选择基底信号进行合成。图 7 所示的锯齿波信号函数表达式为I(t)=2aTt 2atT+12(10)其中“”函数为向下取整函数。其傅里叶级数展开式可表示为I(t)=k=1bksin2ktT(11)在一个周期内bk=2TT2T22aTtsin2ktTdt()bk=(1)k2ak(12)得I(t)=k=1(1)k2aksin2ktTI(t)=2a sint+12(sin2t 13sin3t+14sin4t )(13)图 7锯齿波信号与合成方波信号一样，合成法获得锯齿波信号在实际上存在着不足，该方法可用于理论演示或演示实验。实际中常常运用图 8 所示锯齿波发生电路来获得锯齿波信号。在输入端施加方波信号，通过三极管控制电容的充放电便能够在输出端得到一定精度的锯齿波信号。图 8锯齿波发生电路4三角波信号三角波信号是如图 9 所示的周期信号，其同421大学物理实验2022 年锯齿波一样也常常被用作扫描信号。图 9三角波信号三角波信号同样属于周期性信号，因此同样可以以正弦信号为基底合成，从而获得所需的不同频率与振幅的三角波信号。若三角波振幅为a，其函数表达式为:I(t)=4aTt 2atT+14T4+nT t T4+nT4aTt+2atT+14+2a T4+nT t T4+nTN Z(14)在一个周期内I(t)=k=1bksin2ktT(15)其中bk=2TT4T24aTt 2a()sin2ktTdt+T4T44aTtsin2ktTdt+T4T44aTt+2a()sin2ktTdt得bk=(1)k128ak22(16)即I(t)=k=1(1)k128ak22sin2ktTI(t)=8a2sint 132(sin3t+152sin5t 172sin7t+)(17)通过振幅和频率按以上规律变化的正弦波信号叠加便能得到三角波信号。实际电路中常通过图 10 所示电路来获得三角波，在输入端输入方波后通过电容的充放电，能够在输出端近似获得三角波。图 4 所示方波信号输入图 10 所示电路，电容充电过程中两端暂态电压应满足图 10三角波发生电路Cdudt+u=u=e1Ct(18)放电过程满足Cdudt+u=0u=u0e1Ct(19)当时间常数 远大于方波周期时，电容两端电压可近似认为线性上升与下降，于是便在电容两端输出了三角波信号。5结语大学物理实验是帮助学生加深理解物理知识的重要途径，且对学生实践能力的培养有着不可替代的作用。本文从实验中常见的信号出发，以级数展开为理论基础，介绍了得到相关信号的几种可行方法，以帮助学生理解相关信号的来源，使学生对涉及到相关信号的实验从理论高度有更深刻理解，而不是面对冰冷的仪器只会调节几个开关或旋钮。521第 6 期孙国威，等:基于傅里叶分解合成的大学物理实验常见信号产生原理分析参考文献:1 梁昆淼数学物理方法(第四版)M 北京:高等教育出版社，2010，1 2 蔡杏山主编模拟电路和数字电路自学手册M 北京:人民邮电出版社，2018，9 3 杨亚莉工程实践背景下的周期性方波信号分解与合成J 电气电子教学学报，2021，43(5):138-140，182 4 周丽丽基于 LC 串联电路的傅里叶分解合成实验仪的设计 D 青岛:山东科技大学，2020，6 5 苏武浔，张渭滨，王建成几种常见信号波形的逆变换计算()矩形脉冲与奇偶对称方波的逆变换 J 华侨大学学报(自然科学版)，2005(1):80-84 6 苏武浔，张渭滨，王建成几种常见信号波形的逆变换计算()奇偶对称三角波与锯齿波和整流余弦波的逆变换 J 华侨大学学报(自然科学版)，2005(4):416-419 7 张其善，严光文，韦玉川常见波形级数 J 北京航空大学学报，2001(5):540-543Analysis of Common Signal Generation Principle in University PhysicsExperiment Based on Fourier Decomposition and SynthesisSUN Guowei，LIU Zhongmin*，XU Yuanguo*，GUO Qin(Jiangxi Normal University，Nanchang 330022，China)Abstract:How are these signals generated in experimental teaching?Many students feel lost It brieflydiscusses how to get the signal we need from the signal synthesis and circuit rectification filter two aspects，sothat we can roughly understand the source of the signal in the relevant experiment，has a positive role forstudents to deeply understand the experimentKeywords:Fourier series;sine signal;square wave signal;sawtooth signal;triangle signal621大学物理实验2022 年