基于低管秩张量分解的互质阵列自适应波束成形算法_程耘.pdf

SCIENTIA SINICA Informationis中国科学:信息科学2023年第53卷第2期:402416c 2023中国科学 杂志社论文基于低管秩张量分解的互质阵列自适应波束成形算法程耘,刘天鹏*,师俊朋,苏晓龙,刘振国防科技大学电子科学学院,长沙 410073*通信作者.E-mail:收稿日期:20220110;修回日期:20220315;接受日期:20220429;网络出版日期:20230202国家自然科学基金创新研究群体(批准号:61921001)、国家自然科学基金(批准号:61801488,62022091,62071476)、湖南省科技创新计划(批准号:2020RC2041,2021RC3079,2021RC3080)、中国博士后科学基金(批准号:2020M683728,2021T140788)和国防科技大学学校科研计划(批准号:ZK20-33)资助项目摘要互质阵列因其大阵列孔径和高自由度特性在波束成形领域受到广泛关注.为了充分利用该特性,近年来学者们提出了基于孔洞填充的算法,有效提高了互质阵列波束成形的性能.然而,这些算法存在计算量大、噪声鲁棒性弱等缺点,难以适应复杂多变的实际环境.为此,本文利用张量的多维结构在参数估计上的性能优势,提出了一种基于低管秩张量分解的互质阵列自适应波束成形算法.首先将互质阵列的多采样虚拟信号矩阵重排为张量形式,利用其低管秩特性补全缺失的互相关信息;然后从补全后的张量数据中提取信号参数,并与目标先验进行匹配,最终得到波束成形权矢量.本算法分别利用ADMM和Tucker分解提高了张量补全和分解的运算效率;所设计的目标匹配方案也有效控制了算法误差.仿真结果展示了本算法在性能和计算复杂度相对于现有方法的优势,尤其是在低信噪比和少采样数的情况下.关键词自适应波束成形,互质阵列,张量分解,自由度,参数估计1引言自适应波束成形(adaptive beamforming,ABF)是阵列信号处理领域中的一项核心技术,具有较强保持目标信号,抑制干扰信号和背景噪声的能力,目前被广泛应用于雷达、无线通信及射电天文等领域1.标准Capon波束成形器(standard Capon beamformer,SCB)2是最经典的波束成形器之一,在训练数据中不存在目标信号且目标方向精确已知的条件下具有最佳干扰抑制能力.然而,上述条件在现实场景中是难以达到的,使得SCB在实际应用中的鲁棒性较差.为了解决该问题,在过去的几十年中多种鲁棒波束成形器陆续被提出,主要可以分为:对角加载类3,4、子空间类57、贝叶斯类810和引用格式:程耘,刘天鹏,师俊朋,等.基于低管秩张量分解的互质阵列自适应波束成形算法.中国科学:信息科学,2023,53:402416,doi:10.1360/SSI-2022-0013Cheng Y,Liu T P,Shi J P,et al.Coprime array-adaptive beamforming based on low-tubal-rank tensor decomposition(in Chinese).Sci Sin Inform,2023,53:402416,doi:10.1360/SSI-2022-0013中国科学:信息科学第 53 卷第 2 期重构类1113.然而,以上波束成形器主要是针对传统均匀线性阵列(uniform linear array,ULA)建模设计的.一般来说,增大阵列孔径可以使波束获得更高的空间分辨率和更强的抗干扰能力.传统ULA的阵列孔径与阵元数量成正比,增大其孔径需要更多的物理阵元,意味着硬件成本和计算复杂度的增加1.为了解决该问题,若干非均匀线性阵列(non-uniform linear array,NLA)在过去几十年中陆续被提出.与传统ULA相比,NLA能够以相同数量的物理阵元获得更大的阵列孔径和远多于物理阵元数的自由度.嵌套阵列(nested array,NA)14和互质阵列(co-prime array,CPA)15是近十年来提出的两种系统化NLA1.与相同阵元数下的NA相比,CPA拥有更大的阵元间距,因此其不仅可以获得更大的阵列孔径,还可以有效降低阵元间的互耦效应和接收噪声的相干性16.因此,CPA在阵列信号处理领域,尤其是在波达方向(direction of arrival,DOA)估计领域受到了广泛关注1619.相比之下,基于CPA的ABF(CPA-ABF)研究较少.因此,本文主要关注CPA的鲁棒自适应波束成形器设计.上述波束成形器直接利用物理阵元的接收数据,理论上也适用于其他阵列结构,本文将其对应的算法统称为通用类算法.然而,该类算法在CPA的直接应用忽视了CPA的大自由度特性,部分算法的前提假设也对CPA不成立,往往会导致波束成形器的性能下降.因此,需要设计专门针对CPA的ABF算法,称之为特定类算法.值得注意的是,CPA的大自由度来源于其虚拟阵列,但该虚拟阵列是非连续的,存在“孔洞”.虽然近年来学者提出了若干改进CPA20,21以减少孔洞,但仍无法完全避免孔洞的存在.根据对孔洞的处理方式,本文将特定类算法进一步划分为非填充类算法和填充类算法.非填充类算法以利用物理阵元或者连续虚拟阵元数据的方式规避了孔洞.这类算法的计算量较小,但是忽略了大量非连续虚拟阵元的信息,造成精度和最大可辨识信源数的下降,在阵元数较多时尤为明显2225.填充类算法通过对孔洞进行填补实现对全虚拟阵元的利用,相比于非填充算法在性能上有明显的提高.文献26利用核范数最小化对多采样虚拟信号矩阵进行填充,然后利用多重信号分类(multiplesignal classification,MUSIC)方法和最小二乘(least square,LS)方法分别估计各信号源DOA和功率,进而求得波束成形权矢量.然而,该方法利用cvx工具箱27求解核范数优化问题,具有较高的运算量;使用MUSIC也导致该算法的噪声鲁棒性较差.文献28将虚拟信号进行原子范数建模,通过交替迭代的方式实现对目标角度和功率的估计.然而,该算法利用一阶近似迭代修正目标角度估计,具有较大的运算量和较小的角度误差容限.归纳起来,现有的填充类算法存在计算量大、噪声鲁棒性较弱,以及角度误差容限较小的缺点,难以适用于复杂多变的实际环境.本文针对现有填充类算法存在的问题,提出了一种基于低管秩张量分解的CPA-ABF算法.文献17指出张量的多维结构可以提高信号的参数估计性能,特别是在低信噪、少采样的条件下.利用这一优势,本文将CPA的多采样虚拟信号矩阵重排为张量,利用该张量从原矩阵继承而来的低管秩特性,补全缺失的互相关信息;接着对补全后的张量数据进行分解,从所得的因子矩阵中提取出各信号源参数,并与目标进行匹配,进而计算ABF权矢量.其中,张量填充和张量分解分别利用交替方向乘子法(alternating direction multiplier method,ADMM)29和Tucker分解30提高运算效率;本文所设计的目标参数匹配方案也有效保证了干扰信号功率远大于目标信号时的算法性能.最后,通过仿真实验对所提算法进行了验证,并与若干现有算法进行比较.实验结果证明了本方法的有效性以及相对于现有方法的优势.2预备知识张量是数据的多维结构表示,是向量和矩阵的高阶拓展,描述了多变量之间线性关系.在正式介绍403程耘等:基于低管秩张量分解的互质阵列自适应波束成形算法数学模型和所提算法之前,本节简要介绍了相关的张量定义.对于张量T CIJK,C表示复数集合,tijk=T(i,j,k)表示张量位于(i,j,k)的元素,tij=T(i,j,:)表示位于(i,j)的管纤维,T=fft(T,3)表示T沿着第3个维度的离散傅里叶变换(discrete Fourier transformation,DFT),相应的逆过程为T=ifft(T,3).下面简述本文涉及到的张量定义.定义1(三阶张量纵向展开30)纵向展开是一种张量矩阵化方法,用切片的方式可以表示为TH=T(1,:,:)TT(2,:,:)T T(I,:,:)TT CIJK,TL=T(:,1,:)T(:,2,:)T(:,J,:)T CJKI,TF=T(:,:,1)TT(:,:,2)T T(:,:,K)TT CKIJ,(1)其中,()T表示转置,T(i,:,:),T(:,j,:)T和T(:,:,k)分别表示T的第i个水平切片,第j个侧向切片和第k个正向切片.由于本文主要涉及由正向切片和TF,令Tk=T(:,:,k),并定义展开操作unfold(),使得TF=unfold(T)=T1;T2;.;TK;,fold()则是其相对应的逆算子.定义2(T积31)T1 CIJK和T2 CJLK的T积定义为T1 T2=fold(bcirc(T1)unfold(T2).(2)其中,bcirc(T)=T1TK T2T2T1 T3.TKTK1 T1表示T的块循环矩阵.定义3(正交张量31)在T积的基础上可以定义正交张量:若张量Q CIIJ满足QH Q=QQH=I,则称Q是正交张量.其中,QH表示Q的共轭转置,通过共轭转置Q的每一个正向切片,再将第2个与最后一个正向切片交换位置得到.I CIIK表示单位张量,定义为第1个正向切片为单位矩阵,其余正向切片均为零矩阵的三阶张量.定义4(T-SVD32)对于任意张量T CIJK,其T-SVD定义为T=U S VH.其中,U CIIK和V CJJK是正交张量,S CIJK是F对角张量,定义为每个正向切片都是对角矩阵的三阶张量.定义5(张量管秩32)对于张量T CIJK,若其T-SVD为T=U S VH,则T的管秩定义为S的非零管纤维数,表示为rankt(A),等于S的第1个正向切片的非零奇异值数,即rankt(A)=#i,S(i,i,:)=0=#i,S(i,i,1)=0.(3)定义6(张量核范数32)类似于矩阵核范数的定义,由T-SVD引出的张量核范数定义为T=riS(i,i,1),(4)其中,r=rankt(T).404中国科学:信息科学第 53 卷第 2 期#0#1Nd0Md0Md0Md0Md0Nd0Nd0Nd0#2#2M1#N1#0#1#2.(a)(b)图1互质阵列结构示意图Figure 1The geometry configuration of a coprime array.(a)Separated form;(b)aligned form3信号模型与问题描述3.1实阵列信号模型与波束成形本文考虑文献15所提出的互质阵列结构,如图1所示.该阵列包括两个稀疏ULA:第1个ULA由2M个阵元组成,阵元间距为Nd0;第2个ULA由N个阵元组成,阵元间距为Md0.其中,M,N是两个互质的正整数,且M N;d0表示单位阵元间距,通常等于半波长.由于两个子阵共享第1个阵元,该CPA的总阵元数为2M+N 1,各阵元位置为Q=qid0,i=1,2,.,2M+N 1,qi Mn|0 6 n 6 N 1 Nm|0 6 m 6 2M 1.(5)假设K个远场窄带不相关信号分别以角度0,1,.,K1入射到互质阵列.其中,0表示目标信号的入射方向,而k,k=1,2,.,K 1,表示K 1个不同干扰信号的入射方向.那么,该阵列在第l(l=1,2,.,L)个采样时刻接收到的实阵列信号可以表示为x(l)=x0(l)+xi(l)+n(l)=a(0)s0(l)+K1k=1a(k)sk(l)+n(l),(6)其中,a()=1,ej2p2d0sin(),.,ej2p2M+N1d0sin()T表示阵列在方向上的导向矢量,j=1;s0(l)和sk(l),k=1,2,.,K 1,分别是目标和干扰的信号波形;n(l)CN(0,2nI)表示加性白噪声矢量.除此之外,本文对接收信号还做出了以下假设:(1)所有信号的入射方向各不相同;(2)干扰源数量已知,可通过Akaike信息准则(Akaike information criterion,AIC)或者最小描述长度(minimum descript