基于杜宾-沃森统计量的大地电磁一维反演方法_杨雯.pdf

第 卷第期 年月中 国 海 洋 大 学 学 报 （）：，基于杜宾沃森统计量的大地电磁一维反演方法*杨雯，李予国，*，段双敏，韩波，罗鸣，（中国海洋大学海洋地球科学学院，山东 青岛 ；青岛海洋科学与技术试点国家实验室 海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室，山东 青岛 ；中国地质大学（武汉）地质调查研究院，湖北 武汉 ）摘要：杜宾沃森（，）检验是检验回归分析中残差一阶自相关性的一种方法，该方法广泛应用于计量经济学中。本文将统计量应用于一维大地电磁反演中，将统计量作为惩罚项加入大地电磁反演目标函数中，从而减弱实测大地电磁数据与反演模型响应之差（即残差）的自相关性，实现了基于统计量的大地电磁一维反演方法。通过两个层状模型合成数据反演和南黄海实测大地电磁资料反演验证了该方法的有效性，并与传统的高斯牛顿反演方法进行了对比。反演结果表明本文反演方法对于高阻薄层具有更好的分辨能力。关键词：大地电磁；反演；统计量；高斯牛顿方法中图法分类号：文献标志码：文章编号：（）：引用格式：杨雯，李予国，段双敏，等 基于杜宾沃森统计量的大地电磁一维反演方法 中国海洋大学学报（自然科学版），（）：，（）：*基金项目：国家自然科学基金项目（）资助 （）收稿日期：；修订日期：作者简介：杨雯（），女，硕士生。：*通讯作者：大地电磁法（，）是利用天然交变电磁信号研究地球内部电性结构的一种地球物理方法，现已广泛应用于油气资源勘探和俯冲带、地壳与地幔电性结构研究中。大地电磁反演是获得地下介质电阻率信息的重要方法。然而，反演存在多解性，如何减少 反演的多解性一直是重要的研究方向。自从 提出卡方检验以来，在地球物理反演中便一直使用均方根拟合差（）衡量反演模型响应与实测数据的拟合程度。年代末以来，为了改善大地电磁反演问题的不适定性，吉洪诺夫（）正则化方法开始被应用于 反演中，并取得了迅速发展。目前，常用的大地电磁反演方法包括 反演方法、非线性共轭梯度法（）、拟牛顿法和高斯牛顿法等。这些反演方法关于反演模型响应与观测数据拟合程度的描述大都依赖于目标函数中的均方根拟合差，却没有考虑反演模型响应与观测数据之差（常称为残差）的统计特征，这可能导致反演模型响应形态与观测数据形态出现偏离较大的情况，尤其是当观测数据存在较大误差时，甚至可能得到错误的反演模型。于是用于衡量实测数据与反演模型响应之间关系的其它统计量开始被应用于大地电磁反演中。和 将斯皮尔曼（）相关系数应用于大地电磁（）反演结果评价中。利用 统计量衡量观测数据与模型响应之间残差的自相关性，并将其应用于加拿大 地区大地电磁测深数据反演中。将统计学度量应用于 反演中，一方面可以评价反演结果的合理性，另一方面可以为反演算法的改进提供依据，以便进一步优化反演方法。但是目前关于这方面的研究还不多见。本文将 统计量应用于高斯牛顿大地电磁一维反演中，通过修改目标函数，实现了基于 统计量的大地电磁一维反演方法（以下简称为 反演方法）。通过模型算例分析了该方法的有效性，并与传统的高斯牛顿反演结果进行了对比。反演方法 统计量杜宾沃森（，简称）统计方法是用于检验回归分析中残差一阶自相关性的一种方法，中国海洋大学学报 年该方法常用于检验计量经济学中的自相关问题 。一阶自相关统计量的定义式为，：（）?（）。（）式中：（，）为观测数据与理论模型响应之间的差，常称为残差；为数据个数；?为残差序列的平均值。统计量的值通常介于之间。一般来说，统计量的值与序列自相关性之间的关系如图所示，图中 和 分别表示统计量的下临界值与上临界值。当统计量小于下临界值 时，表明残差之间具有一阶正自相关，当大于 时，表明残差具有一阶负自相关。而当统计量位于（，）区间内时，残差序列之间不存在自相关性。通常，正自相关意味着多数残差都具有相同的符号，而负自相关意味着残差的符号在一段周期内不断变化。从图可以看出，统计量的期望值趋近于。但实际上，在一定显著性水平的假设检验中，统计量的期望值与样本容量和独立变量个数有关。在本文中，由于反演模型参数为地层电阻率和厚度，故独立变量个数为。和 给出了常见显著性水平下多种样本容量和独立变量的 临界值，利用它们可以确定实际问题残差序列 值的下临界值 和上临界值，并依据图所述关系可以判断反演模型残差的自相关性。在统计学的假设检验中，显著性水平代表了原假设为真时拒绝原假设的概率，通常取或。表 给出了显著性水平为 时部分 统计量的临界值及其分布范围。在下一节中，将依据它们检验本文反演结果残差的自相关性。图序列自相关性与 统计量的关系 表部分 统计量临界值分布表（）（：）序号 样本数量 下临界值 上临界值 备注 算例 算例 算例 算例 通常地，统计量与自相关系数具有如下关系，：（）。（）式中，为一阶自相关系数，其表达式为：。（）一阶自相关系数的取值范围为（，）。通常认为，当 时，残差序列的自相关性极弱。反演方法大地电磁反演问题实质上是目标函数的最优化问题。基于吉洪诺夫正则化反演思想，反演目标函数中通常包含数据拟合差项和正则化项：（）（）（）。（）式中：，为模型参数向量，由反演模型中各地层的电阻率和厚度构成；（）为观测数据与理论模型响应的拟合差，可表示为：（）（）（）。（）式中：表示范数；（）表示观测数据与理论模型正演响应之间的残差向量；，为观测数据向量；（）为模型的正演响应；为第个数据的标准差。（）为模型约束项，可以表示为（）（）。（）式中：为拉普拉斯算子的差分近似；为参考模型。在传统的反演方法中，反演目标函数仅考虑了反演模型响应与观测数据的拟合差，但没有考虑其残差的统计学特征。本文将 统计量加入反演目标函数期杨雯，等：基于杜宾沃森统计量的大地电磁一维反演方法中，通过反演倾向于寻找在拟合差和残差自相关性两个方面都可以接受的模型。经过修改后的反演目标函数具有如下形式：（）（）（）（）。（）上式中等号右端第三项是将 统计量归一化为零。在反演中，正则化因子从一个较大的初值开始，随迭代次数的增加逐渐减小；而与此相反，对于权重系数，则先给定一个较小的初值，在迭代过程中缓慢递增。递减和递增的系数通常位于（，）之间。采用这种策略的基本思想是，在迭代反演的前期，注重数据拟合和模型约束，而在反演的后期通过增加 项的权重，减少实测数据与反演模型响应之间残差的自相关性。本文采用高斯牛顿最优化方法求解目标函数式（）的极小值。迭代反演过程中，模型更新量为：。（）其中和分别为第次迭代时目标函数（）的梯度向量和 矩阵，其表达式为：（）（）。（）（）。（）在传统的高斯牛顿反演方法中，和分别仅由式（）和式（）右端的前两项构成，而除该两项以外的其它项反映了 约束项对梯度向量和 矩阵的贡献。其中：?（）。（）（）（）。（）式中：为雅可比矩阵；为一阶差分算子；为与观测数据向量同维度的元素均为的列向量；（）；?。合成数据添加误差大地电磁阻抗可以写成下列指数形式。（）式中：表示阻抗幅值；为相位；为虚数单位。由式（）可以得到阻抗微小变化的表达式 。（）式（）除以式（），得。（）上式表明，大地电磁阻抗的相对变化相当于其幅值的相对变化和相位的绝对变化。大多数时间序列分析表明，大地电磁阻抗的实部和虚部通常具有相等的误差。于是，有弧度 度（）。（）这意味着，对于大地电磁阻抗，其相位的绝对误差与幅值的相对误差相对应。也就是说，如果给大地电磁阻抗幅值添加相对误差，则对应的应该给阻抗相位添加弧度或 角度的绝对误差。由于大地电磁视电阻率，因此若给阻抗幅值添加的相对误差，则应该给视电阻率添加的相对误差。这是因为 。（）大地电磁理论模型合成数据反演中，通常会给正演合成数据加入一定的随机噪声，并将其结果作为反演数据。然而，若直接给视电阻率添加相对误差，可能会使得所添加的误差具有自相关性，以节将要讨论的三层高阻薄层模型为例，对此进行说明。首先，在频率范围 之间选取 个对数等间隔的频点，正演计算得到三层高阻薄层模型 个频点的视电阻率和阻抗相位。然后，在视电阻率数据中加入的随机相对误差噪声，相应地在阻抗相位数据中加入 的随机绝对误差。用这样的方法得到的视电阻率误差和相位误差随周期的变化关系如图所示。图视电阻率误差（）和阻抗相位误差（）分布特征 （）（）从图中可以看到，阻抗相位误差在周期范 围（）内是随机分布的。阻抗相位误差的 统计量 和自相关系数 ，这表中国海洋大学学报 年明阻抗相位误差不具有自相关性。长周期视电阻率的误差是在零线附近上下随机分布的，而短周期视电阻率的误差并非是随机分布的。视电阻率误差的 统计量 为 ，自相关系数 为 ，这表明视电阻率误差具有一定的自相关性。图分别绘出了视电阻率误差序列和相位误差序列与其滞后一阶误差序列的散点图，从图中也可以看到，视电阻率误差没有呈现出随机分布的状态，但相位误差呈现出了明显的随机分布特征。基于 统计量的大地电磁反演方法需要满足噪声误差随机性的条件，因此需要对视电阻率进行转换。图视电阻率误差序列（）和阻抗相位误差序列（）与其滞后一阶误差序列散点图 （）（）在大地电磁反演中，通常会将视电阻率的对数值作为反演数据。若采用给视电阻率对数值添加绝对误差的方式，则所加误差便不具有自相关性。依据前面的讨论，如果给大地电磁阻抗添加相对误差，则应给视电阻率加入的相对误差，这相当于给视电阻率对数添加绝对误差 （）。其原因解释如下。假如给视电阻率添加相对误差，则绝对误差。若视电阻率取对数，则其绝对误差为：（）（）。（）还是以高阻薄层模型为例，在视电阻率对数数据中加入 （）的随机绝对误差。图给出了视电阻率对数的绝对误差随周期的变化关系以及散点图。由图可见，视电阻率对数的误差呈现出了随机分布状态。视电阻率对数误差的 统计量 和自相关系数 ，这表明各个频点视电阻率对数的绝对误差之间不存在自相关性。图视电阻率对数值的绝对误差分布情况（）和视电阻率对数值的误差与其滞后一阶误差序列散点图（）（）（）（）考虑到理想情况下，各个频点大地电磁数据的误差之间应各自独立，不存在自相关。因此，在大地电磁反演中应将视电阻率对数值和阻抗相位作为反演数据，在添加误差时应加入相应的绝对误差。期杨雯，等：基于杜宾沃森统计量的大地电磁一维反演方法反演算例高阻薄层模型首先考虑一个含有高阻薄层的三层模型（如图中黑色虚线）。该模型是根据文献，建立的页岩油气高阻薄层模型。第一层的电阻率和厚度分别为 和 ；中间层为高阻薄层，其电阻率和厚度分别为 和，高阻层下方是电阻率为 的均匀半空间。假设 个频点对数等间隔地均匀分布在频率范围 之间。在各个频点的视电阻率对数和阻抗相位数据 中，分 别 加 入 （），相当于给视电阻率添加的相对误差）和 弧度的随机噪声，从而构成反演数据。图反演结果对比 反演初始模型为 的均匀半空间。正则化因子和 权重因子的初值分别为 和 。在迭代过程中，逐渐减小，而逐渐增大。在本例中，的递减系数为 ，的递增系数为 。图展示了经过第 次迭代后获得的反演结果。从反演结果中可以看到，高阻薄层厚度及其电阻率均得到了很好的重构，其厚度非常接近真实值，其电阻率为 ，比其真实值偏高。图展示了第 次至第 次迭代的反演结果。从图可以看出 反演方法重构高阻薄层的过程。为了比较起见，图也给出了传统高斯牛顿法反演结果。高斯牛顿法反演方法很好地恢复了第一层和第三层的电阻率，但是对高阻薄层几乎完全没有反映。由于大地电磁法存在等值性现象，含有高阻薄层的正演响应曲线与不含高阻薄层的正演响应曲线十分接近，使得大地电磁法对高阻薄层的分辨率极低。海（）第 次迭代，（）第 次迭代，（）第 次迭代，（）第 次迭代。（），（），（），（）图 反演重构高阻薄层的迭代过程 洋大地电磁方法对高阻薄层分辨率低的特性制约了其在高阻薄层探测方面的发展，而本例则表明含 项的反演方法可以通过减小反演拟合残差的自相关性，中国海洋大学学报 年在一定程度上提高海洋大地电磁方法对高阻薄层的探测能力。图给出了 反演迭代过程中均方根、视电阻率对数的 统计量（）及相位 统计量（）的 变 化 情 况。从 图 中 可 以 看 出，均 方 根随 着 迭 代 次 数 的 增 加 不 断 下 降，而 和