Kadomtsev-Pet...ashvili方程的行波解_潘俊蓬.pdf

第 43 卷 第 2 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.2 2023 年 2 月 Journal of Science of Teachers College and University Feb.2023 文章编号：1007-9831（2023）02-0001-06 Kadomtsev-Petviashvili 方程的行波解 潘俊蓬1，聂大勇2（1.华北水利水电大学 数学与统计学院，河南 郑州 450046；2.黄河水利职业技术学院 科技处，河南 开封 475004）摘要：通过选取变系数 Bernoulli 方程作为辅助方程，根据齐次平衡原则研究 Kadomtsev-Petviashvili方程，得到了方程一类新的精确行波解同时，利用试探函数法得到该方程的另一个行波解 关键词：Kadomtsev-Petviashvili 方程；齐次平衡原则；变系数辅助方程法；试探函数法；行波解 中图分类号：O175.2 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.02.001 Traveling wave solutions of Kadomtsev-Petviashvili equation PAN Junpeng1，NIE Dayong2（1.School of Mathematics and Statistics，North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou 450046，China；2.Department of Science&Technology，Yellow River Conservancy Technical Institute，Kaifeng 475004，China）AbstractAbstract：By selecting the Bernoulli equation with variable coefficients as the auxiliary equation，the Kadomtsev-Petviashvili equation is studied according to the principle of homogeneous equilibrium，and a new class of exact traveling wave solutions of the equation are obtained At the same time，another traveling wave solution of the equation is obtained by trial function method Key wordsKey words：Kadomtsev-Petviashvili equation；principle of homogeneous equilibrium；variable coefficient auxiliary equation method；trial function method；traveling wave solution 1 引言及预备知识 针对非线性发展方程的精确解，许多学者致力于该领域的研究，并提出了多种解法，如 F 展开法、双曲函数法、Jacobi 椭圆展开法、试探函数法、Darboux 变换法和 Riccati 方程映射法等1-5 考虑 2+1 维 Kadomtsev-Petviashvili 方程（简称为 KP 方程）()20txxxxxxxxyyuuuuuu+=（1）式中：，均为参数方程（1）可看作 KdV 方程在高维情形的推广，其在流体力学和气体动力学等领域有着重要意义，故 KP 方程的精确解对许多问题有重要的参考价值文献6使用混合指数法得出了方程（1）的个孤立波解；文献7-8运用（G G）-展开法对变系数 KP 方程进行研究，得出了方程的孤立波解；文献9将改进的双曲正切法运用到经典 KP 方程，并构造出了新形式的孤立波解；文献10应用Bernoulli 型简单方程得到了方程（1）的精确行波解 本文运用变系数 Bernoulli 辅助方程法11，构造方程（1）的一类新精确解.Bernoulli 辅助方程法是在确定需求解的方程后，通过引入适当的行波变换把原方程转化为 收稿日期：2022-05-03 基金项目：国家自然科学基金面上项目（11871212）；河南省高等职业学校青年骨干教师培养计划项目（2020GZGG109）；河南省高等学校重点 科研项目（23B110016）作者简介：潘俊蓬（1997-），男，河南周口人，在读硕士研究生，从事偏微分方程研究E-mail： 通信作者：聂大勇（1982-），男，河南邓州人，副教授，硕士，从事偏微分方程研究E-mail： 2 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 常微分方程，然后选取合适的变系数 Bernoulli 辅助方程，利用齐次平衡原则设出方程的解代入到转化得出的常微分方程，并结合辅助方程得到一常微分方程组，最后求解常微分方程组即可得出方程的行波解同时，利用试探函数法得到该方程的另一个行波解 2 Bernoulli 辅助方程求行波解 定理 1 方程（1）具有行波解()()()2412212122123251(,)2 13se62ln cos212tan2c2CCkxlyctCCCkxlyctCCeCCkxlycu xytcklkkCCt+|-+|+|-+|=-+|+-+|+|+()()()1121235112162ln cos2 2etan2n2ta2CCkxlyctCCkxlyctCkxlCCyctCCCCCC+|-+|+|+|-+|+()()()6242624232424274262ln c(,)2 o sh 212etanh213sech2CCkxlyctCCCuxytcklkkCCkxlyctCCCCkxlyct+|-+|+|-+|+=-+|+-|+()()()6442644423722462ln co 2tanh2sh2(2etanh2CCkxlyctCCkxlyctCkxlyctCCCCCCCC+|+|-+|+|+|-+|+|式中：，均为不等于零的常数；C，1C，40C，2C，3C，5C，6C，7C为积分常数；0,kcl为任意实数 证明 设方程（1）具有行波解 ()(,),u xytukxlyct=+（2）式中：k，c，l为待定常数方程（1）经过行波变换可转化为常微分方程 ()()()()()()()()2422240kuckulukuuku+=（3）根据齐次平衡原则及式（3）最高阶线性项和最高阶非线性项的次数，可设 ()()()()()()()20122,0uaaaa =+（4）()满足方程 ()()()()2p =+（5）式（5）即为变系数 Bernoulli 辅助方程，()p表示关于的单变元函数.第 2 期 潘俊蓬，等：Kadomtsev-Petviashvili 方程的行波解 3 将式（4）代入式（3）并考虑辅助方程（5），可得到关于的且含有()i的多项式，整理合并()的同次幂系数并取为零，即得关于()(0,1,2,)iain=，()p，k，c，l的常微分方程组()()()()()()()()24022240000:0kacklkaaka+=()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()431442411011224110112224410122410:424 6 66+3kpakpakaakapckalakaakpapacklkakpkaacklkapkp+()()()()()()()()()()()()()()()()23240322424401101441 2622 0kakppcklkakpaakakpkaka+|=()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()4242221222242022112242201110234412221622 21222 2162 15328:kpakapckaplapkaapkapckalakaakpakakaakpaaka+()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2202221012222242022132244420122 25 122 2122762 pkaak aakpackalakaakpapkaacklkakpkaakap+|+()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()342242110122422022342444420122 4333254 44448 441880kapacklkakpkackalakaakpaakakpkakaka+=()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()322432122022242422022244212212122420:5130(44 4152456 21812 255571)3()kpakpakaackalakpakaakpakaakapkakaapacklkakpk+()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21242221212220212342 6452509 206234 80akaaacklkpkakppaaapaaka+|+=()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222212202222242222224222121122222122222423666 21654962 2466 32078 27 6:3kackalakaakpakakapkapkakaakaakak pakakaakkaa+()20=()()()()()()()()()()()2222122225226235634 120:=kakapakakaa+()()()()262221012:0k aka+=求解方程组中方程()6，得 4 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 ()2212ka=-（6）将式（6）代入方程()5并化简得 ()()21120kpa+=（7）进而解得 ()()2112kpa-=（8）再将式（6），（8）代入方程()4并化简得 ()()()242240(40)cklkpkakp+=（9）解得 ()()()242402(4)cklkpkpak-=-（10）继续将式（6）（8）（10）代入方程()3并化简得 ()()()0ppp-=（11）解得 ()()2112ppC-=（12）当10C=时，式（12）的结果无意义，故不予讨论.分种情形进行分析：情形 10C 时，由式（12）得 ()()1212tan2CCpC+|=|（13）式中：2C为积分常数.情形 10C，由式（12）得 ()()4422tanh2CCpC+=-|（14）式中：2C为积分常数 求解辅助方程（5），得 ()()()3dddeeppC=-（15）将式（13）代入式（15），得 ()()()121123512ln cos22etan2CCCCCCCCC+|-+|=+-+|（16）式中：C，10C，2C，3C，5C为积分常数.将式（14）代入式（15），得 ()()()64262423742ln cosh22etanh2CCCCCCCCC+|-+|=+-+|（17）式中：2C，3C，40C，6C，7C为积分常数 第 2 期 潘俊蓬，等：Kadomtsev-Petviashvili 方程的行波解 5 由式（6）（8）（10）（13）（14）（16）（17）可得到定理结论.证毕 3 试探函数法求