TVD格式求解对流扩散方程的最优限制器研究_戚园春.pdf

基金项目:国家重点研发计划资助项目(2018YFC1508403);国家自然科学基金项目(52079090)收稿日期:20210517修回日期:20210531第 40 卷第 2 期计算机仿真2023 年 2 月文章编号:10069348(2023)02036106TVD 格式求解对流扩散方程的最优限制器研究戚园春1，刘昉1，侯庆志1，2(1 天津大学建筑工程学院，天津 300354;2 天津大学智能与计算学部，天津 300354)摘要:为探究不同通量限制器应用于 TVD(Total Variation Diminishing)格式求解对流扩散方程时的适用性，基于 3 种典型的TVD 格式与 10 种常用的通量限制器，分别求解了线性对流扩散方程、非线性对流扩散方程、拟线性对流扩散方程。数值结果表明，相比于 MUSCL(Monotonic Upstreamcentered Scheme for Conservation Laws)和 MTVDLF(Modified TVDLF)格式，采用TVDLF(TVD LaxFriedrichs)格式时，计算结果出现了较为严重的数值耗散;对 MUSCL 和 MTVDLF 格式进行具体分析发现，关于阶跃型纯对流问题，Superbee 限制器的误差最小，Minmod 误差最大。关于高斯型对流扩散问题，Minmod 误差最大，Woodward 误差最小。而关于阶跃型对流扩散问题及 Burgers 方程，限制器的类型对实验结果影响并不明显。关键词:对流扩散方程;总变差递减格式;通量限制器中图分类号:O242.4文献标识码:BExamination of Optimal Flux Limiters in TVD Schemefor Solving ConvectionDiffusion EquationQI Yuanchun1，LIU Fang1，HOU Qingzhi1，2(1 School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300354，China;2 School of Computer Science and Technology，Tianjin University，Tianjin 300354，China)ABSTACT:In order to explore the applicability of different flux limiters applied to solve convectiondiffusion equa-tions in TVD(Total Variation Diminishing)scheme，based on 3 typical TVD schemes and 10 commonly used fluxlimiters，this study solved the linear convectiondiffusion equation，the nonlinear convectiondiffusion equation andthe quasi linear convection diffusion equation respectively The results show that:compared with MUSCL(Monotonic UpstreamCentered Scheme for Conservation Laws)and MTVDLF(Modified TVDLF)，when the TVDLF(TVD LaxFriedrichs)scheme is used，the numerical dissipation of the calculation results is quite serious By analy-zing MUSCL and MTVDLF schemes，it is found that the error of the Superbee limiter is the smallest and the error ofMinmod is the largest for the step type pure convection problem For the Gaussian convectiondiffusion problem，theerror of Minmod is the largest and Woodward is the smallest For the step convectiondiffusion problem and Burgersequation，the type of limiter has no obvious effect on the solutionsKEYWODS:Convectiondiffusion equation;TVD;Flux limiter1引言对流扩散方程作为描述自然界流动、传热及物质输运过程的主要控制方程，其可充分反映流体在流动过程中所携带的物理量的变化规律，在流体力学、能源开发及环境科学等领域发挥着重要的作用1。对流扩散方程的求解方法主要有有限差分法、有限元法和有限体积法36。有限体积法物理意义明确、计算效率较高，基于该方法求解对流扩散方程时，常用的离散格式有一阶迎风、二阶迎风、中心差分、LaxFriedrichs、LaxWendroff、BeamWarming、Fromm 等，然而这些格式会导致计算结果出现不同程度的数值耗散或者数值振荡7，精度过低会抹平数值解中的间断，精度过高又会导致计算结果在间断附近出现伪振荡。近年来，高分辨率格式的发展有效缓和了这一问163题，其可敏锐地捕捉间断，提高激波的分辨率并消除伪振荡。常用的高分辨率离散方法有 FCT(Flux Corrected Transport)方法和 TVD(Total Variation Diminishing)方法。FCT 方法是几乎所有保单调和非振荡流体输运算法的起源，该方法的本质是在输运格式里面施加一个扩散和反扩散项，使之能平滑激波区和流场陡变区，从而避免伪振荡。而 TVD 方法是通过保证变量的变化不随时间增加，从而消除伪振荡，其在对流扩散方程求解中表现出了良好的性能。早期，Harten8 依据 TVD 性质构造了一个通量限制函数，并与高阶格式相结合，首次提出了“高分辨率方法”这一概念。Tamamidis 等9 采用 3 种高阶单调格式分别求解了 4 类二维对流扩散问题，并与无通量限制器格式的计算结果进行对比，表明带通量限制器的高阶格式可显著提高计算结果的准确性。Hutter 等10 采用多种数值格式求解一维对流扩散问题，表明带有 Superbee 限制器的 MTVDLF 方法是求解对流占优问题的最佳方法。郭建红等11 基于有限体积通量修正，应用高阶迎风对流格式和带 TVD 限制器的高分辨率格式研究了自然空泡湍流流动的数值计算方法，发现后者能更好地捕捉空泡界面附近物理量的阶跃特性。冯定华等12 应用 8种差分格式和 5 种限制器计算分析了激波管 iemanna 问题，并对比了各类限制器的压缩性和耗散性。Zhang 等13 对现有的 TVD 格式进行归类，表明合理的通量限制器是 TVD格式的关键要素，并在此基础上提出了一种改进的用于稳态计算的 SSTVD(Steadystate TVD)限制器 TCDF。因此，为进一步优选求解不同类型对流扩散问题的最优算法，本文共采用了 3 种典型的 TVD 格式:MUSCL、TVDLF、MTVDLF 格式，10 种常用的通量限制器:Superbee14、Min-mod15、Woodward10、Van Leer9、UMIST16、WACEB17、Al-bada18、OSPE19、TCDF13、Koren13，求解了阶跃型纯对流问题、阶跃型对流扩散问题、线性高斯型对流扩散问题、拟线性高斯型对流扩散问题、Burgers 方程，共 5 类典型的对流扩散问题。同时，为了促进该问题的数值模拟研究发展，本文所有格式的相关代码可在以下网站自行下载:http:114.55.218.152/wpblog/，以期为国产自主软件开发提供一定的技术支持。2数学模型对流扩散方程的一维形式和守恒形式为ct+acx=xcx()(1)ct+f(c)x=xcx()(2)式中，c 为污染物浓度、温度等;f(c)为对流通量。a(c)=f(c)x为对流速度，当 a 为常数时，方程(1)为线性;当 a 为 x和 t 的函数时，方程(1)为拟线性;当 a 为 c 的函数时，则为非线性。为扩散系数，当 为 0 时，上式为纯对流方程。3TVD 方法与通量限制器有限体积法守恒性较好，物理意义明确，以下主要采用该方法离散方程(2)中的导数，通过在xj1/2，xj+1/2tn，tn+1 上积分，可以得到该方程的离散形式为Un+1j Unjt+Fj+1/2 Fj1/2x=Dj+1/2 Dj1/2x(3)Unj=1xxj+1/2xj1/2c(x，tn)dx(4)Fj 1/2=1ttn+1tnf(xj 1/2，t)dt(5)Dj 1/2=1ttn+1tncx()(xj 1/2，t)dt(6)式中，Unj代表 n 时刻位于 xj处控制体上的物理量，Fj1/2和Dj1/2分别代表控制体 xj边界 xj1/2处的对流通量和扩散通量，可分别采用不同格式计算，x 和 t 分别为空间和时间步长。本文采用带有通量限制器的 TVD 方法求解对流扩散方程，以确保格式的单调性和解的非振荡性。首先，依据 TVD条件，用线性分段重建的方法重构控制体上物理变量的分布，从而得到控制体界面左、右两侧物理量的值10。例如，位于控制体 xj右侧界面 xj+1/2处左、右两侧的值分别为 ULj+1/2和 Uj+1/2，计算时可借助 xj左、右两侧的控制体来计算ULj+1/2=Uj+12xj(7)Uj+1/2=Uj+112xj+1(8)j=j(Uj+1 Uj)x(9)j=(j)(10)j=Uj Uj1Uj+1 Uj(11)式中，j为斜率限制器，j为连续梯度比，()函数的选用见表 1。表 1TVD 格式中的常用通量限制器限制器公式Superbeemax(0，min(1，2)，min(，2)Minmodmax(0，min(1，)Woodward10 max 0，min 2，2，1+2()()Van Leer+|1+UMISTmax 0，min 2，2，34+14，4+34()()WACEBmax 0，min 2，2，34+14()()263限制器公式Albada(+1)1+2OSPE3(+1)2(1+2)TCDF(+1)1+2，0322+2，01234+14，1222229421，2Korenmax 0，min 2，2，23+13()()本文主要对比带有以上通量限制器的三种 TVD 格式:MUSCL、TVDLF 和 MTVDLF 格式(见表 2)，并通过数值实验找出适应于不同类型问题的最优格式。由于在对流扩散问题中，扩散项对不同的计算格式并不敏感，一般采用中心差分格式处理就可以满足实际需要。因此，以下仅采用 TVD格式构造对流通量，三种格式中对流通量的构造方法如下Fj+1/2=12(f(Uj+1/2)+f(ULj+1/2)j+1/2)(12)表 2三种 TVD 格式格式参数MUSCLMUSCLj+1/2=|aLj+1/2|(Uj+1/2ULj+1/2)aLj+1/2=f(Uj+1/2)f(ULj+1/2)Uj+1/2ULj+1/2，Uj+1/2ULj+1/2a(Uj+1/2)，Uj+1/2=ULj+1/2TVDLFTVDLFj+1/2=xtULj+1/2，ULj+1/2=Uj+1/2ULj+1/2MTVDLFMTVDLFj+1/2=Cmaxj+1/2TVDLFj+1/2，Cmaxj+1/2=|aj+1/2|maxtx|aj+1/2|max=max|aj+1/2(Uj+1/2)|，|a