《艺术中的数学文化史》读后_张英伯.pdf

艺术中的数学文化史读后张英伯(北京师范大学数学科学学院 1 0 0 8 7 5)最近商务印书馆出版了一部新书:内蒙古师范大学科学技术史研究院代钦教授撰写的 艺术中的数学文化史.代钦教授在数学史界享有盛名:他在中国社会科学院研究生院获得博士学位,出版过 儒家思想与中国传统数学(商务印书馆,2 0 0 3);中国数学教育史(北京师范大学出版社,2 0 1 8);数学教学论新论(科学出版社,2 0 1 8)等著作,发表论文2 0 0余篇.古今中外,有关数学文化史的著作不胜枚举:仅在本书后的参考文献栏目,代钦教授就列出了三百余本之多.其中的文章或书籍大都以论述为主,辅以部分插图.代钦教授的新书却另辟蹊径,以绘画、照片和数学图形为主线,辅以相关的历史典故,向人们讲述了艺术中的数学文化史.书的封面和封二展现了法国 圣经的道德教谕 中的首卷插图 上帝以圆规测量世界,或译成 上帝作为一个设计宇宙的几何学家.紧接着的两幅画 太初 和 艾萨克牛顿,以及其后的五幅插图中,数学家、建筑学家都在使用圆规.接着,书中介绍了伟大的古希腊数学家阿基米德在设计防御工事时,被罗马士兵杀害.罗马统帅将该士兵处决,为阿基米德修建陵墓,举行了隆重的葬礼.书中还介绍了古罗马基督教思想家奥古斯丁,用几何学和数学证明的方式论证上帝存在和灵魂不朽,模仿 几何原本 的体系完成了自己的哲学著作.托勒密是古希腊的数学家、天文学家、地理学家和占星家.他总结了希腊古天文学的成就,写成巨著 天文学大成1 3卷,论述了宇宙的地心体系,认为地球居于中心,日、月、行星和恒星围绕地球运行.托勒密的天文学大成给出了0度至9 0度之间间隔半度的世界上第一张三角函数表.书中的第三篇着重描述了拉斐尔的画作 雅典学院.雅典是古希腊民主自由、科学精神和哲学智 慧 的 象 征,奠 定 了 现 代 西 方 文 明 的 基 础.2 5岁的天才画家拉斐尔在这幅画中描绘了毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德、欧几里得、托勒密、拉斐尔等历史上的哲人和学者5 2人参与哲学和科学讨论、讲授、学习、谈话、沉思,每一个人都神情专注.作品正中间是柏拉图和亚里士多德,柏拉图的手指向天空,象征着理念哲学思想;亚里士多德的手指向地面,预示着实践哲学思想.这幅画作包含了中世纪的“七艺”:算术、几何、天文学、音乐、文法、逻辑学和修辞学.表明了数学是所有学科的基础,哲学是所有学问的最高境界.第三篇的第一部分介绍了毕达哥拉斯的勾股定理,三角形内角和定理,两数和的平方公式,平方差公式.毕达哥拉斯学派研究了天文学、医学、生理学、谐音学和机械学等并提出大地是球形的,它不是宇宙的中心.这一学派首先提出了“数学”一词,它包括算术、音乐、几何学和天文学四个学科,后来加入文法、修辞和逻辑,成为七艺.第三篇的第二部分论述柏拉图奠定了数学哲学的思想.他在柏拉图学园的匾额上书写“不懂几何,不得入内”.柏拉图是西方“质疑、辩论和批判”学术传统的开创者之一,他虽然不是数学家,但他对数学价值的认识对后世产生了极大的影响.古希腊贤哲们发现了正多面体的存在,并给出了正多面体只有五种的证明.一般认为第一个给出证明的是与柏拉图同时期的古希腊数学家泰阿泰德,证明的依据是构成一个立体角的所有角之和必须小于3 6 0度.上帝是按照某种数学模式创造太阳系的.162 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报第三部分介绍了亚里士多德对数学的阐释.亚里士多德1 8岁进入柏拉图学园学习,柏拉图去世后离开在雅典另立讲坛称为“逍遥学派”.与柏拉图学园学风不同,这一学派注重从实际中收集材料,提出问题和研究问题.亚里士多德的研究领域涉及哲学、政治学、逻辑学、数学、物理学、天文学、生物学等学科,使他成为科学史上的第一个分类学家.第四部分介绍撰写了 几何原本 的伟大数学家欧几里得.欧几里得生于雅典,公元前3 0 0年左右活跃在亚力山大.他的伟大功绩在于撰写了流传两千余年的数学教科书 几何原本.几何原本 的重要性不在于他论证的具体定理,而在于欧几里得对前人的证明进行整理,用亚里士多德的逻辑方法,甄选一套定义、公理和定理,循序渐进地揭示它们之间的逻辑关系,建立了数学史上的第一个公理体系.欧几里得“在几何里,没有专门为国王铺设的大道”成为千古箴言.这是在托勒密国王向他询问是否有学习几何的捷径时,欧几里得给出的回答.书中的第四篇题为“苏格拉底的数学教学智慧”.苏格拉底是“第一个建立了道德体系并且赋予道德价值以优先地位的希腊哲学家”和教育家.他从事教育的方式就是与他人对话,一般都在大街上进行.苏格拉底的佯作无知伤害了很多自认为有智慧的人,他简朴的生活方式暗示着对那些以正当或不正当方式获取金钱去纵情享受的人们的否定.于是他为自己树立了很多敌人,并且付出了沉重的代价.公元前3 9 9年,苏格拉底以“犯有拒绝接受国家公认的诸神的罪行;腐蚀青年人的罪行被判处死刑.”苏格拉底赴死时,亲人和弟子们都在哭泣,尽管苏格拉底曾获得逃脱的机会,但他仍然选择饮下毒酒,因为他认为逃脱死刑只会进一步破坏雅典法律的权威.苏格拉底、柏拉图和亚里士多德并称为古希腊三贤,是西方哲学的奠基者.苏格拉底不但是一位伟大的哲学家、数学家,也是一位极其优秀的老师.他有一套培养学生的方法,引导学生理性地思考,自己得出问题的结论;甚至不时抛出一些错误的结论,培养学生的逻辑思维和辩证思维的能力.本书的附录中有一段苏格拉底为孩子(童奴)讲授几何学的描述,堪称循循善诱,由此及彼,举一反三.书中的第五篇介绍了意大利文艺复兴时期的天才画家达芬奇,他为人类贡献了亘古不朽的伟大画作 蒙娜丽莎,最后的晚餐.达芬奇还是一位数学家,在他的艺术创作、技术发明、建筑与工程设计中,对数学的运用堪称炉火纯青,甚至提醒人们:“不懂数学,勿读我书”.在他的作品 维特鲁威人 和 马 中,体现出精确的数学比例.书中的第六篇介绍了近代哲学之父,法国著名的哲学家和数学家笛卡尔.他曾应瑞典女皇克里斯汀娜之邀担任她的教师.笛卡尔创立了解析几何,用代数的方法研究几何问题,开创了数学史上的新纪元.直到三个半世纪后的今天,解析几何仍然是全世界普通高中数学课的核心内容之一.第七篇讲述女性在数学与艺术中的贡献.特别介绍了古希腊名垂青史的伟大数学家、天文学家和哲学家希帕蒂亚,她在前往博物院讲学的路上被暴徒绑架并残忍杀害.还有,在中国清代夏敬渠的长篇小说 野叟曝言 中详尽地描述了主人公与其爱妾讨论勾股与三角形关系的情景.书中的第八篇为“墓葬中的数学文化”介绍了在湖北省荆州市张家山出土的汉代“算术书”;伏羲女娲图中的规和矩;古埃及墓室中的计数法;古罗马陵墓中的“七艺”(文法、修辞、逻辑学、算术、几何、天文、音乐).最后描述了丢番图的“墓志铭”,运用一道巧妙的数学题描绘了自己的一生.第九篇“艺术中的数学工具”,包括阿拉伯人的数学工具:古埃及的象形文字和金字塔,印度-阿拉伯数字在欧洲的传播;以及西方的数学工具:艺术测量仪器、星象仪、地球仪、丁字尺和数学书等等;东亚的数学工具则有曾在中国和日本广泛使用的算盘.题为 地方测量制图 的版画作品显示了测量仪和瞄准器的应用.第十篇“中国彩陶中的数学文化”展示了描绘着各种花纹的盆、碗、壶、钵、勺等餐饮用具.其中的图案包括轴对称、中心对称、完全对称、旋转变换等等类型.作为一位蒙古族教授,代钦在第十一篇中介绍了“蒙古族传统生活中的数学文化”.包括蒙古包设计中的黄金比例及其数学结构;蒙古服饰的黄金比例,以及蒙古族图案艺术的对称美和比例美;描绘了蒙古鹿棋、建筑设计以及岩画艺术中的26数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期数学文化.第十二篇介绍了清末民初时的数学课堂:孩子们三、四个人围坐在一张课桌四周,或站在黑板前演算习题,他们戴瓜皮帽梳长辫子,甚至可以用左手拿起辫子在黑板上固定一点,右手用辫梢夹上粉笔画一个圆.女孩子也可以上学,学校引入了西方的代数和几何课本.记得我国著名的数学教育家傅种孙先生曾在北京师大一附中讲授平面几何,只要西方国家新出一种课本,他就马上引进附中的课堂.段学复、熊全淹、钱学森等数学家、物理学家都是他的学生,钱学森说:“听了傅老师的课,我才知道什么叫真正的数学.”全书的最后一篇第十三篇介绍了丰子恺几幅有趣的漫画.有四个孩子围在一起观测星空的 自制望远镜;有反映孩子们折纸游戏的 阿宝,还有日寇侵华,不断空袭时的数学课堂 一心以为警报将至,以及充满童趣的23+1=7人,画的是三位母亲抱着三个孩子,其中一位母亲肚子里还怀着一个胎儿.最后还介绍了陕甘宁边区古元的版画.代钦教授撰写的这部 艺术中的数学文化史,是用照片与图画等艺术形式表达的、充满情趣的数学文化史.特此向广大读者推荐.(上接第8页)要点:“旋转的性质”是指旋转前后两个图形的形状、大小关系,以及对应元素之间的关系.由于图形的旋转可以归结为点的旋转,因此对应点的关系是旋转的基本性质.因为两个图形对应元素之间的关系是由旋转这个变换决定的,所以研究旋转的性质时要与旋转三要素联系起来.(4)我们得到了“旋转的性质”,你认为可以用这些性质解决哪些几何问题?例如,可以用性质研究图形的全等关系;一个圆围绕圆心作任意旋转都与原来的圆重合,所以一定可以利用旋转研究圆的性质;等等.(5)你觉得还可以研究哪些旋转的性质?例如,通过旋转,线段的长度、角度的大小、面积的大小等都保持不变,位置关系(如平行、垂直)也不会改变等.设计意图 单元小结聚焦在几何变换所研究的内容、路径、方法和结构,以如何发现和提出问题、如何抽象概念、几何性质指什么以及如何发现性质、如何运用概念与性质解决问题等,引导学生进行反思和总结,完善旋转的认知结构并提升理性思维的水平.这样的反思与总结注重了从方法论的高度引导思考,可以使学生体验具体内容中蕴含的数学思想,并有效形成数学活动经验,这就使数学学科核心素养真正得到了落实.5 结束语笔者认为,平面几何课程中引入几何变换的内容是与时俱进的,建议课程标准中进一步明确其研究工具和研究方法的地位.以直观感知、操作确认的方式给出相关概念,并把几何变换严格定义中的内涵作为基本性质也是合理的,是与学生的认知发展水平相适应的;建议把线段的叠合公理、角的叠合公理和三角形的叠合公理(S A S)作为对称性的基础内容,要求学生通过动手操作、说理的方式进行确认.在教材编写和教学过程中,要注重研究的整体架构,在统一的思想方法下对各种几何变换展开研究,其中要特别强调几何变换的性质就是变换前后两个图形的关系、两个图形对应元素间的关系,探索性质时要把对应元素与变换的要素(对称轴、旋转中心和旋转角、平移的方向和距离等)联系起来.线段、等腰三角形、平行四边形、圆都是基本而重要的几何图形,通过几何变换探索和认识它们的性质(变化中的不变性、不变量),在理解平面几何的内容与方法中具有示范意义,教学中应将更多的时间和精力放在这些基本图形上.无论是探索几何变换的基本性质还是研究轴对称图形、中心对称图形的性质,联系的观点、类比的方法都是基本的,例如在线段的垂直平分线性质中看到等腰三角形的性质,在角的平分线性质中看到三角形的叠合公理等.另外,几何作图(尺规作图)对于抽象几何变换的概念、探索其性质以及用于解决几何问题等都具有直观引领作用,可以极大提高发现和提出问题的可能性,也能帮助学生洞察图形的几何性质,对形成直观想象素养很有好处,要给予重视.362 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报