2023学年中考数学考点总动员第01讲实数及其有关概念含解析.doc

第01讲　实数及其有关概念 1．实数分类 (1)按实数的定义分类 (2)按正负分类 实数 2．实数的有关概念 (1)数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 其中实数和数轴上的点一一对应． (2)相反数：只有符号不相同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是_－a___，0的相反数是0；a与b 互为相反数⇔a＋b＝_0_． (3)绝对值 ①定义：数轴上表示数a的点与原点的___距离___叫做数a的绝对值，记作|a|； ②性质： |a|＝ |a|是一个非负数，即|a|>0. (4)倒数：实数a的倒数是___，其中a≠0，a，b互为倒数⇔ab＝_1___． 3．科学记数法，近似数 (1)科学记数法 ①定义：把数x写成a×10n(1≤|a|＜10，且n为整数)的形式，这种记数方法叫做科学记数法； ②其中a是整数位数只有一位的数，即1≤|a|＜10； 当|x|≥1时，n为正整数，等于数x的整数部分的位数减1； 当|x|＜1时，n为负整数，其绝对值等于数x中非0数字前面所有0的个数(包含小数点前的0)．或将原数变为a时小数点向右平移的位数． (2)近似数 一个近似数__四舍五入___到哪一位，就说这个数精确到哪一位． 4. 有理数的运算 (1)有理数的加法 ①法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；一个数加0，仍得这个数． ②运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (2)有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)． (3)有理数的乘法 ①法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与0相乘，都得0. ②运算律： a．乘法交换律：ab＝__ba ____． b．乘法结合律：(ab)c＝a(ac)． c．乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. (4)有理数的除法 ①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b＝a·. ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. (5)有理数运算的顺序 ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算. 考点1：实数的分类 【例题1】（ 甘肃省天水市，1，4分）四个数－3，0，1，π中的负数是（ ） A．－3 B．0 C．1 D．π 【答案】A 【解答】解：－3是负数；0既不是正数，也不是负数；1和π都是正数．故选择A． 归纳：判断无理数的关键是看其化简后是否可以写成无限不循环小数，掌握常见无理数的四种类型有助于解决此类题目． 考点2：科学记数法 【例题2】（2023年•湖南怀化•4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（　　） A．27.6×103 B．2.76×103 C．2.76×104 D．2.76×105 【答案】C 【解析】将27600用科学记数法表示为：2.76×104．故选：C． 考点3： 关于实数的概念考查 【例题3】(2023年甘肃省天水市)已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（　　） A. B. C. 或 D. 1或 【答案】C 【解析】∵|a|=1，b是2的相反数， ∴a=1或a=-1，b=-2， 当a=1时，a+b=1-2=-1； 当a=-1时，a+b=-1-2=-3； 综上，a+b的值为-1或-3， 故选：C． 一、选择题： 1. 2023年•湖南衡阳•3分）﹣的绝对值是（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】B 【解析】解：|﹣|＝，故选：B． 2. （2023年古呼和浩特）﹣3﹣（﹣2）的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案． 解析：﹣3﹣（﹣2）=﹣3+2=﹣1．故选：A． 3. （2023年▪贵州毕节▪3分）举世瞩目的港珠澳大桥于2023年年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（　　） A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104 【答案】D 【解析】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104，故选：D． 4. （2023年，山东枣庄，3分）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（　　） A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1 【答案】D 【解析】解：∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a， ∴点A表示的数为a﹣1， ∴点B表示的数为：﹣（a﹣1）， 故选：B． 5. （ 河北省，11，2分）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论： 甲：b-a<0； 乙：a+b>0； 丙：|a|<|b|； 丁：. 其中正确的是（ ） A． 甲乙 B．丙丁 C．甲丙 D．乙丁 【答案】C 【解答】解：根据点A，B在数轴上的位置，可假设a=2，b=﹣4，∴b－a=﹣4-2=﹣6＜0，a+b=2+(﹣4)=﹣2＜0，故结论甲正确，结论乙不正确；|a|=|2|=2，|b|=|﹣4|=4，∵2＜4，∴|a|＜|b|，故结论丙正确；＜0，故结论丁不正确.综上可知，答案为选项C. 二、填空题： 6. （2023年•邵阳）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是　﹣2　． 【答案】-2 【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是2， ∴点A表示的数的相反数是﹣2． 故答案为：﹣2． 7. （2023年•云南）某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员3451人，将3451用科学记数法表示为　　． 【答案】3.451×103 【解答】解：3451=3.451×103， 故答案为：3.451×103． 8. (2023年甘肃省陇南市)如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是 . 【答案】3 【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1， ∴点B表示的数是：3． 三、计算题： 9. 已知2a﹣1的算术平方根是5，a+b﹣2的平方根是±3，c+1的立方根是2，求a+b+c的值． 【解答】：∵2a﹣1的算术平方根是5， ∴2a﹣1=52=25，解得a=13， ∵a+b﹣2的平方根是±3 ∴a+b﹣2=（±3）2=9， ∴b=﹣2， 又∵c+1的立方根是2， ∴c+1=23，解得c=7， ∴a+b+c=18． 10. 在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是P. (1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；若以C为原点，P又是多少？ (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求P. 解：(1)以B为原点，点A，C分别对应－2，1.2分 P＝－2＋0＋1＝－1；4分 以C为原点，P＝(－1－2)＋(－1)＋0＝－4.6分 (2)P＝(－28－1－2)＋(－28－1)＋(－28) ＝－88.8分 11.利用运算律有时能进行简便计算． 请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)； (2)999×118＋999×(－)－999×18. 解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15) ＝－15 000＋15 ＝－14 985. (2)原式＝999×[118＋(－)－18] ＝999×100 ＝99 900. 四、解答题： 12. (2023年·河北预测改编)我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点． (1)在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示； (2)(1)中所取点A表示的数字是2，相反数是－2，绝对值是2，倒数是，其到点5的距离是5－2； (3)取原点为O，表示数字1的点为B，将(1)中点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C，求CO的长． 【解答】　解：(1)如图所示．(答案不唯一) (3)将点A向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′表示的数字为2－2，其关于点B的对称点为C， ∵点B表示的数字为1， ∴点C表示的数字为2×1－(2－2)＝4－2. ∵2≈2×1.414＝2.828<4， ∴CO＝4－2. 13. (2017·石家庄长安区质量检测)小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2 km到达小彬家，继续向东跑了1.5 km到达小红家，然后又向西跑了4.5 km到达学校，最后又向东跑回到自己家． (1)以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，在如图所示的数轴上，分别用点A表示出小彬家、用点B表示出小红家、用点C表示出学校的位置； (2)求小彬家与学校之间的距离； (3)如果小明跑步的速度是250 m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？ 解：(1)如图． (2)小彬家与学校的距离是2－(－1)＝3(km)． (3)小明一共跑了2＋1.5＋4.5＋1＝9(km)． 答：小明跑步一共用的时间是9 000÷250＝36(min)． 14. 已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． （2）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ （3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数．（不必说明理由）． 【解答】解：（1）∵a是最大的负整数， ∴a=﹣1， ∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数， ∴b=3+2=5， ∵c是单项式﹣2xy2的系数， ∴c=﹣2， （2）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度， ∴AB=6，两点速度差为：2﹣， ∴=4， 答：运动4秒后，点Q可以追上点P． （3）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10， 当M在AB之间，则M对应的数是2， 当M在C点左侧，则M对应的数是： . 　 8