2023学年中考数学考点总动员第06讲一次方程组及其应用含解析.doc

第6讲　一次方程(组)及其应用 1．等式的基本性质 性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果a＝b，c为任意数(或式子)，那么a±c＝b±c； 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：①如果a＝b，那么ac＝bc；②如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．方程及方程的解 (1)方程：含有未知数的等式． (2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程． 3．一元一次方程 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是1的整式方程． (2)解一元一次方程主要有以下步骤：①去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；②去括号(注意括号外是负号时，去括号后括号内各项均要变号)；③移项(注意移项要变号)；④合并同类项；⑤系数化1. 4．二元一次方程 (1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程． (2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值． 注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即，任何一个二元一次方程都有无数多个解． (3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值，求另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解． 5．二元一次方程组 (1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组． (2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法. ①方程组中一个方程里有一个未知数的系数是1或－1，选择代入消元法较简单； ②方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法． 6．三元一次方程组 (1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程组叫三元一次方程组． (2)三元一次方程组的解法： 7．列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； (2)设：设关键未知数； (3)找：找出各量之间的等量关系； (4)列：根据等量关系列方程(组)； (5)解：解方程(组)； (6)验：检验所解出的答案是否正确，是否符合题意； (7)答：规范作答，注意单位名称． 8．常见一次方程实际应用常见类型及关系式 (1)行程问题：路程＝速度×时间； 相遇问题：两者路程之和＝全程； 追及问题：快者路程＝慢者先走的路程(或相距路程)＋慢者后走的路程； 水中航行问题： - (2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间 ，各部分部分工作量之和＝总工作量． (3)利润问题： 利润＝售价－进价＝进价×利润率； 售价＝标价×折扣率＝进价×(1＋利润率)； 总利润＝总售价－总进价＝单件利润×销量 ． (4)利息问题： 利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息． 考点1：一元一次方程(组)的解法 【例题1】(2017·广州)解方程组： 【解答】　解：方法一：由①，得x＝5－y.③ 把③代入②，得2(5－y)＋3y＝11.解得y＝1. 把y＝1代入③，得x＝5－1＝4. ∴原方程组的解为 方法二：由①，得y＝5－x.③ 把③代入②，得2x＋3(5－x)＝11.解得x＝4. 把x＝4代入③，得y＝5－4＝1. ∴原方程组的解为 方法三：①×3－②，得x＝4. 把x＝4代入①，得y＝1. ∴原方程组的解为 方法四：②－①×2，得y＝1. 把y＝1代入①，得x＝4. ∴原方程组的解为 考点2：一元一次方程(组)的应用 【例题2】（2023年▪湖北黄石▪8分）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【分析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【解答】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，由题意得 x：600＝100：60 ∴x＝1000 ∴1000﹣600﹣100＝300 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步． （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得 y＝200+y ∴y＝500 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 归纳：1.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系；2.可根据公式寻找数量关系，如周长、面积、体积等；3.在有倍数、和差关系的应用题中，应抓住两种量的关系，建立等量关系，这类题目中常有“一共是…”、“比…多(少)”、“是…的几倍”、“比…几倍多(少)”等；4.涉及几何图形的应用问题时，等量关系一般隐藏在图形的性质中，如矩形对边相等，正方形四边相等或裁剪拼接和折叠前后的对应关系等． 考点3：二元一次方程(组)的解法 【例题3】（2023年•德州）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=　 　． 【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案． 【解答】：由题意可知：， 解得： ∵x＜y， ∴原式=5×12=60 故答案为：60 考点4：二元一次方程(组)的应用 【例题4】(2023年甘肃省陇南市)（6分）小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？ 【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案． 【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得： ， 解得：， 答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元． 一、选择题： 1. （2023年•湖南怀化•4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　） A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1 【答案】A 【解答】解：x﹣2＝0， 解得：x＝2． 故选：A． 2. 若方程组的解x、y的值相等，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D．1 【考点】解三元一次方程组． 【答案】C 【解答】：由题意可得方程x=y，将此方程代入原方程组的第二个方程得：4x+3x=14，则x=y=2； 然后代入第一个方程得：2a+2（a﹣1）=6； 解得：a=2． 故选C． 3. （2023年，四川巴中，4分）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 【答案】B 【解答】解：将代入得： ， ∴a+b＝2； 故选：B． 4. （2023年•浙江宁波•4分）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　） A．31元 B．30元 C．25元 D．19元 【答案】A 【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元， 依题意，得：5x+3y+10＝3x+5y﹣4， ∴y＝x+7， ∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31． 故选：A． 5. ( 2023年甘肃省兰州市) （4分）≪九章算术≫是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C． 【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y＝5y+x，故选C. 二、填空题： 6. 如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为_______cm2. 【答案】10×40＝400(cm2) 【解析】：设小长方形的长为x cm，则宽为(50－x)cm，根据题意可得： 2x＝x＋4(50－x)， 解得：x＝40， 故50－x＝10(cm)． 则一个小长方形的面积为：10×40＝400(cm2) 7. 一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________． 【答案】15 【解答】∵ 当y=127时，解得：x=43； 当y=43时，解得：x=15； 当x=15时,解得不符合条件。 则输入的最小正整数是15. 故答案为：15. 8. （2023年•湖南岳阳•4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　　尺． 【答案】 【解答】解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得： x+2x+4x+8x+16x＝5， 解得：x＝， 即该女子第一天织布尺． 故答案为：． 9. 当y=﹣3时，二元一次方程3x+5y=﹣3和3y﹣2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，则a的值是 ． 【答案】﹣． 【解答】：当y=﹣3时， 3x+5×（﹣3）=﹣3， 解得：x=4， 把y=﹣3，x=4代入3y﹣2ax=a+2中得， 3×（﹣3）﹣2a×4=a+2， 解得：a=﹣． 三、解答题： 10. (2023年·嘉兴)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①－②，得3x＝3. 解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2，③ 把①代入③，得3x＋5＝2. (1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 【解析(1)解法一中的解题过程有错误， 由①－②，得3x＝3“×”． 应为由①－②，得－3x＝3. (2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1. 把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2. 故原方程组的解是 11. 已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由； (2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 【解析(1)甲对，乙不对．理由： ∵θ＝360°，∴(n－2)×180°＝360°. 解得n＝4. ∵θ＝630°，∴(n－2)×180°＝630°.解得n＝. ∵n为整数，∴θ不能取630°. (2)依题意，得 (n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°. 解得x＝2. 12. (2017·海南)在某市“棚户区