2023学年中考数学必考考点专题8分式方程及其应用含解析.docx

专题08 分式方程及其应用 专题知识回顾 1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。 （1）去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程); （2）按解整式方程的步骤求出未知数的值; （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，原分式方程无解；若不等于零，就是原方程的根。 专题典型题考法及解析 【例题1】（2023年•湖北孝感）方程＝的解为　 　． 【答案】x＝1． 【解析】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检查求出的根是否是增根）”的步骤求出方程的解即可．注意：解分式方程时，最后一步的验根很关键．观察可得方程最简公分母为2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．两边同时乘2x（x+3），得 x+3＝4x， 解得x＝1． 经检验x＝1是原分式方程的根． 【例题2】（2023年黑龙东地区）已知关于x的分式方程 的解是非正数，则m的取值范围是（ ） A．m≤3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3 【答案】A 【解析】知识点是分式方程的增根。 由得x=m-3， ∵方程的解是非正数， ∴m-3≤0，∴m≤3. 当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6， ∵m=6不在m≤3内，∴m≤3.故选A. 【例题3】（2023年•广东省广州市）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】 【解析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可． 设甲每小时做x个零件，可得： 【例题4】（2023年•四川自贡）解方程：﹣＝1． 【答案】x＝2． 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x， 解得：x＝2， 检验：当x＝2时，方程左右两边相等， 所以x＝2是原方程的解． 【例题5】（2023年•江苏扬州）“绿水青山就是金山银山”，为了进一步优化河道环境，甲乙两工程队承担河道整治任务，甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米，甲工程队整治3600米所用的时间与乙工程队整治2400米所用时间相等。甲工程队每天整治河道多少米？ 【答案】甲工程队每天整治河道900米. 【解析】解设甲工程队每天整治河道xm，则乙工程队每天整治（1500-x）m 由题意得：＝， 解得：x=900 经检验的x=900是该方程的解。 专题典型训练题 一、选择题 1.（2023年▪黑龙江哈尔滨）方程＝的解为（　　） A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】C 【解析】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键． 将分式方程化为，即可求解x＝；同时要进行验根即可求解。 ＝， ， ∴2x＝9x﹣3， ∴x＝； 将检验x＝是方程的根， ∴方程的解为x＝ 2.（2023年山东淄博）解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是（　　） A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x） D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 【答案】D 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果． 去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 3.（2023年•广西贵港）若分式的值等于0，则x的值为（　　） A．±1 B．0 C．﹣1 D．1 【答案】D 【解析】化简分式＝＝x﹣1＝0即可求解。 ＝＝x﹣1＝0， ∴x＝1； 经检验：x＝1是原分式方程的解。 4.（2023年辽宁本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类.用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元.若设甲型机器人每台x万元，根据题意，所列方程正确的是 A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】本题考查了分式方程的应用，设甲种型号机器人每台的价格是x万元，根据“用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同”，列出关于x的分式方程． 设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得： 5. （2023年•湖北十堰）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（　　） A．﹣＝15 B．﹣＝15 C．﹣＝20 D．﹣＝20 【答案】A 【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程． 设原计划每天铺设钢轨x米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务可列方程． 设原计划每天铺设钢轨x米，可得： 6. （2023年•山东省济宁市 ）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自此有了5G网络．5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（　　） A．﹣＝45 B．﹣＝45 C．﹣＝45 D．﹣＝45 【答案】A 【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案． 设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是： ﹣＝45． 7.（2023年•江苏苏州）小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量 二、填空题 8.（2023年•甘肃）分式方程＝的解为　 　． 【答案】x＝ 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 去分母得：3x+6＝5x+5， 解得：x＝， 经检验x＝是分式方程的解． 9.（2023年•山东省滨州市）方程+1＝的解是　 　． 【答案】x＝1． 【解析】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根． 去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3， 移项、合并，得2x＝2， 解得x＝1， 检验：当x＝1时，x﹣2≠0， 所以，原方程的解为x＝1 10.（2023年•山东省德州市）方程﹣＝1的解为　 　． 【答案】x＝﹣4 【解析】根据分式方程的解法，先将式子通分化简为＝1，最后验证根的情况，进而求解。 ﹣＝1， ＝1， ＝1， ＝1， x+1＝﹣3， x＝﹣4， 经检验x＝﹣4是原方程的根。 11.（2023年▪湖北黄石）分式方程：﹣＝1的解为　 　． 【答案】x＝﹣1 【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即x2﹣3x﹣4＝0， 解得：x＝4或x＝﹣1， 经检验x＝4是增根，分式方程的解为x＝﹣1 12.（2023年四川巴中）若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为　 　． 【答案】1 【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2） ∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣2＝0， 解得x＝2， 当x＝2时，m＝1 故m的值是1 13.（2023年•江苏宿迁）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是　　． 【答案】a＜5且a≠3． 【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案． 去分母得：1﹣a+2＝x﹣2， 解得：x＝5﹣a， 5﹣a＞0， 解得：a＜5， 当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意， 故a＜5且a≠3． 14.（2023年•贵州省安顺市）某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为　 　． 【答案】﹣＝20． 【解析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克， 依题意，得：﹣＝20． 故答案为：﹣＝20． 15. (2023年黑龙江绥化)甲乙两辆汽车同时从A地出发,开往相距200km的B地,甲,乙两车的速度之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地,则甲车速度为______km/h. 【答案】80 【解析】分式方程的应用。 设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得:, 解之,得x＝20,∴甲车速度为4x＝80. 三、解答题 16.（2023年广西梧州）解方程：． 【答案】是分式方程的解． 【解析】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．正确去分母、检验是解题关键． 方程两边同乘以得：， 则， ， 解得：，， 检验：当时，，故不是方程的根， 是分式方程的解． 17.（2023年•湖北天门）解分式方程：＝． 【答案】见解析。 【解析】去分母化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得． 两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）＝5， 解得：x＝， 检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）＝≠0， ∴原分式方程的解为x＝． 18.（2023年贵州省毕节市）解方程：1－＝． 【答案】见解析。 【解析】观察可得最简公分母是2（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 去分母得， 2x+2﹣（x﹣3）＝6x， ∴x+5＝6x， 解得，x＝1 经检验：x＝1是原方程的解． 19.（2023年年陕西省）解分式方程： ． 【答案】． 【解析】去分母，解整式方程，检验根的情况，回答问题． 方程两边同乘，得 解得 检验：当时，，所以是原分式方程的解 所以原分式方程的解为． 20.(2023年黑龙江大庆)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,求该工厂原来平均每天生产多少台机器? 【答案】见解析。 【解析】由已知列出分式方程,解之可得. 设原来每天生产x台机器,则现在每天生产(x+50)台, 根据题意得:, 解之,得x＝150, 经检验,x＝150是原分式方程的解.答:该工厂原来平均每天生产150台机器. 21.（2023年吉林长春）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成