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2023
学年
中考
数学
必考
考点
专题
一元
二次方程
及其
应用
解析
专题09 一元二次方程及其应用
专题知识回顾
1.定义:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
3. 一元二次方程的根:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
4.一元二次方程的解法
有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。
适用形式:x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2,配方法解一元二次方程的一般步骤是:
①化简——把方程化为一般形式,并把二次项系数化为1;
②移项——把常数项移项到等号的右边;
③配方——两边同时加上b2,把左边配成x2+2bx+b2的形式,并写成完全平方的形式;
④开方,即降次;
⑤解一次方程。
(3)公式法。
当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的实数根可写为:的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根。
,
②b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac<0时,方程无实数根。
定义:b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用字母Δ表示,即Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
5.一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是,那么,。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤
第1步:审题。认真读题,分析题中各个量之间的关系。
第2步:设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步:列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步:解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步:检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步:答。
专题典型题考法及解析
【例题1】 (2023年安徽)解方程:(x﹣1)2=4.
【答案】x1=3,x2=﹣1.
【解析】此题主要考查了直接开平方法,解这类问题要移项,把所含未知数的项移到等号的左边,把常数项移项等号的右边,化成x2=a(a≥0)的形式,利用数的开方直接求解.(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
利用直接开平方法,方程两边直接开平方即可.
两边直接开平方得:x﹣1=±2,
∴x﹣1=2或x﹣1=﹣2,
解得:x1=3,x2=﹣1.
【例题2】(2023年山西)一元二次方程配方后可化为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,故选D。
【例题3】(2023年年山东省威海市)一元二次方程3x2=4﹣2x的解是 .
【答案】x1=,x2=.
【解析】直接利用公式法解方程得出答案.
3x2=4﹣2x
3x2+2x﹣4=0,
则b2﹣4ac=4﹣4×3×(﹣4)=52>0,
故x=,
解得:x1=,x2=.
【例题4】(2023年年江苏省扬州市)一元二次方程x(x﹣2)=x﹣2的根是 .
【答案】1或2.
【解析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
x(x﹣2)=x﹣2,
x(x﹣2)﹣(x﹣2)=0,
(x﹣2)(x﹣1)=0,
x﹣2=0,x﹣1=0,
x1=2,x2=1
【例题5】(2023年北京市) 关于x的方程有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
【答案】m=1,此方程的根为
【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式进而求出m的范围;结合m的值为正整数,求出m的值,进而得到一元二次方程求解即可.
∵关于x的方程有实数根,
∴
∴
又∵m为正整数,∴m=1,
此时方程为解得根为,
∴m=1,此方程的根为
【例题6】(2023年四川泸州)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣x﹣4=0的两实根,则(x1+4)(x2+4)的值是 .
【答案】16
【解析】考查一元二次方程根与系数的关系
∵x1,x2是一元二次方程x2﹣x﹣4=0的两实根,
∴x1+x2=1,x1x2=﹣4,
∴(x1+4)(x2+4)
=x1x2+4x1+4x2+16
=x1x2+4(x1+x2)+16
=﹣4+4×1+16
=﹣4+4+16
=16
【例题7】 (2023年安徽)据国家统计局数据,2023年年全年国内生产总值为90.3万亿,比2017年增长6.6%.假设国内生产总值的年增长率保持不变,则国内生产总值首次突破100万亿的年份是( )
A.2023年年 B.2023年年 C.2023年年 D.2023年年
【答案】B.
【解析】根据题意分别求出2023年年全年国内生产总值、2023年年全年国内生产总值,得到答案.2023年年全年国内生产总值为:90.3×(1+6.6%)=96.2598(万亿),
2023年年全年国内生产总值为:96.2598×(1+6.6%)≈102.6(万亿),
∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2023年年。
专题典型训练题
一、选择题
1.( 2023年甘肃省兰州市) x=1是关于的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=( )
A. -2 B. -3 C. 4 D. -6
【答案】A.
【解析】将x=1代入方程x2+ax+2b=0,得a+2b=-1,
2a+4b=2(a+2b)=2×(-1)=-2.
2.(2023年•湖南怀化)一元二次方程x2+2x+1=0的解是( )
A.x1=1,x2=﹣1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=﹣1 D.x1=﹣1,x2=2
【答案】C.
【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
利用完全平方公式变形,从而得出方程的解.
∵x2+2x+1=0,
∴(x+1)2=0,
则x+1=0,
解得x1=x2=﹣1,
3.(2023年•浙江金华)用配方法解方程x2-6x-8=0时,配方结果正确的是( )
A. (x-3)2=17 B. (x-3)2=14 C. (x-6)2=44 D. (x-3)2=1
【答案】 A
【解析】配方法解一元二次方程
∵x2-6x-8=0,
∴x2-6x+9=8+9,
∴(x-3)2=17.
4. (2023年湖北咸宁)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m<1 B.m≤1 C.m>1 D.m≥1
【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有实数根,
∴△=(﹣2)2﹣4m≥0,
解得:m≤1.
5.(2023年内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0
的两根,则m的值是( )
A. 34 B.30 C.30或34 D.30或36
【答案】A.
【解析】分两种情况讨论:
① 若4为等腰三角形底边长,则a,b是两腰,
∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根,
∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,
∴m=34.
此时方程为x2-12x+36=0,解得x1=x2=6.
∴三边为6,6,4,满足三边关系,符合题意.
② 若4为等腰三角形腰长,则a,b中有一条边也为4,
∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4.
∴42-12×4+m+2=0,
解得,m=30.
此时方程为x2-12x+32=0,解得x1=4,x2=8.
∴三边为4,4,8,不满足三边关系,故舍去.
综上,m的值为34.
6.(2023年•山东省聊城市)若关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为( )
A.k≥0 B. k≥0且k≠2 C.k≥ D.k≥且k≠2
【答案】D.
【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0,即可得出关于k的一元一次不等式组,解之即可得出k的取值范围.
(k﹣2)x2﹣2kx+k﹣6=0,
∵关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2kx+k=6有实数根,
∴,
解得:k≥且k≠2.
7. (2023年湖北仙桃)若方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根为α,β,则α2+β2的值为( )
A.12 B.10 C.4 D.﹣4
【答案】A
【解析】∵方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根为α,β,
∴α+β=2,αβ=﹣4,
∴α2+β2=(α+β)2﹣2αβ=4+8=12
8. (2023年•江苏泰州)方程2x2+6x﹣1=0的两根为x1 、x2 则x1+x2等于( )
A.﹣6 B.6 C.﹣3 D.3
【答案】C.
【解析】根据根与系数的关系即可求出答案.
由于△>0,
∴x1+x2=﹣3,
9.(2023年山东淄博)若x1+x2=3,x12+x22=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣3x+2=0 B.x2+3x﹣2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2﹣3x﹣2=0
【答案】A.
【解析】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.利用完全平方公式计算出x1x2=2,然后根据根与系数的关系写出以x1,x2为根的一元二次方程.
∵x12+x22=5,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=5,
而x1+x2=3,
∴9﹣2x1x2=5,
∴x1x2=2,
∴以x1,x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2=0.
10. (2023年•广东)已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根,下列结论错误的是( )
A.x1≠x2 B.x12﹣2x1=0 C.x1+x2=2 D.x1·x2=2
【答案】D
【解析】因式分解x(x-2)=0,解得两个根分别为0和2,代入选项排除法.
11.(2023年•广西贵港)若α,β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的两实根,且+=﹣,
则m等于( )
A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3
【答案】B.
【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β=2,αβ=m,再化简+=,代入可求解;
α,β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0的两实根,
∴α+β=2,αβ