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2023
学年
中考
数学
考点
总动员
09
不等式
及其
应用
解析
第9讲 不等式(组)及其应用
1.不等式的基本性质
性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号方向不改变;如果a>b,那么a±c>b±c;
性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号方向不改变;如果a>b,c>0,那么ac>bc,>;
性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变;如果a>b,c<0,那么ac<bc,< .
2.一元一次不等式
(1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,且不等式左右两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式.
(2)解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变).
(3)解集在数轴上表示:
①画数轴 ②定边界 ③定方向
x>a
x<a
x≥a
x≤a
3.一元一次不等式组
(1)定义:一般地,关于同一个未知数的几个不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组.
(2)一元一次不等式组的解集:组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.
注意:不等式的解可以是一个或多个数值,而不等式组的解集是包含所有使不等式成立的解的集合.
(3)解一元一次不等式组的步骤:①分别解每个一元一次不等式;②在数轴上表示各不等式的解集;③确定各不等式解集的公共部分;④得到不等式组的解集;
(4)几种常见的不等式组的解集(a>b,且a、b为常数):
不等式
组(a>b)
图示
解集
口诀
x≥a
同大取大
x≤b
同小取小
a≤x≤b
大小、小大
中间找
无解
小小、大大
找不到
4.一元一次不等式的应用
(1)列不等式解应用题的基本步骤:
①审题;②设元;③找出能够包含未知数的不等量关系;④列出不等式;⑤解不等式;⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值;⑦写出答案.
(2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系,如最大利润、最优方案等,一般所求问题中有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“超过(>)”、“不大于(≤)”等词,要正确理解这些词的含义.
考点1:解一元一次不等式
【例题1】(2023年广西桂林)(6.00分)解不等式<x+1,并把它的解集在数轴上表示出来.
【解析】:去分母,得:5x﹣1<3x+3,
移项,得:5x﹣3x<3+1,
合并同类项,得:2x<4,
系数化为1,得:x<2,
将不等式的解集表示在数轴上如下:
归纳:1. 本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握解不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1;2.将不等式(组)的解集直观地表示在数轴上,体现数形结合的思想;3.在画图时,先确定边界点,解集包含边界点,则边界点是实心圆点;解集不包含边界点,则边界点是空心圆圈,再确定方向(大向右,小向左).
考点2:解一元一次不等式组
【例题2】(2023年·自贡)解不等式组并在数轴上表示其解集.
【解答】解:解不等式①,得x≤2.
解不等式②,得x>1.
∴不等式组的解集为1<x≤2.
将其表示在数轴上,如图所示.
归纳:在数轴上表示解集时,大于号向右,小于号向左,有等号的用实心圆点,无等号的用空心圆圈. (1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用,即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数,不等号要改变方向;(2)求不等式组的整数解时,“实心”点所表示的实数如果是整数,则该点也是所求整数解,如果不是整数,要从离该点最近的整数点开始算起;“空心”点所在的实数如果是整数,则该点不是整数解,如果不是整数,则要从解集中离该点最近的整数点开始算起.
考点3:一元一次不等式的实际应用
【例题3】(2023年湖南益阳10分)为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式.某农户有农田20亩,去年开始实施“虾•稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价﹣成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元.
(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价;
(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为25元/千克,该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克?
【分析】(1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元,由题意列出方程组,解方程组即可;
(2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意列出不等式,就不等式即可.
【解答】解:(1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元,
由题意得:,
解得:;
答:去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元;
(2)设今年稻谷的亩产量为z千克,
由题意得:20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000,
解得:z≥640;
答:稻谷的亩产量至少会达到640千克.
归纳:本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用;根据题意列出方程组或不等式是解题的关键.归纳总结:1.利用不等式(组)解决实际问题,关键是要抓住题目中表示不等关系的语句,列出不等式,问题的答案不仅要根据解集,还要根据使实际问题有意义确定.2.在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时,为防止漏解和便于比较,我们常用分类讨论的思想方法,对方案的优劣进行探讨.
考点4:一元一次不等式与其它知识的综合应用
【例题4】(2023年·河北中考预测)如图,在数轴上有A,B,C,D四点,点A对应的数为a,点B对应的数为3,点D对应的数为t,若CD=4,且在数轴上移动.
(1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧,求a的取值范围,并把解集表示在数轴上;
(2)当t为何值,且是整数时,点B落在C,D两点之间.
【解析】:(1)∵AB=3-a,2AB表示的数始终位于点A的左侧,
∴2(3-a)<a,解得a>2.
∵a<3,
∴a的取值范围为2<a<3.
在数轴上表示如图.
(2)∵CD=4,且当点B落在C,D两点之间,
∴解得3<t<7.
∵t是整数,
∴t可以取4,5或6.
一、选择题:
1. (2023年甘肃省陇南市)(3分)不等式2x+9≥3(x+2)的解集是( )
A.x≤3 B.x≤﹣3 C.x≥3 D.x≥﹣3
【答案】A
【解答】解:去括号,得2x+9≥3x+6,
移项,合并得﹣x≥﹣3
系数化为1,得x≤3;
故选:A.
2. (2023年•湖北荆门•3分)已知关于x的不等式3x﹣m+1>0的最小整数解为2,则实数m的取值范围是( )
A.4≤m<7 B.4<m<7 C.4≤m≤7 D.4<m≤7
【答案】A
【解答】解:解不等式3x﹣m+1>0,得:x>,
∵不等式有最小整数解2,
∴1≤<2,
解得:4≤m<7,
故选:A.
3. (2023年•山东滨州•3分)把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,正确的为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解:解不等式x+1≥3,得:x≥2,
解不等式﹣2x﹣6>﹣4,得:x<﹣1,
将两不等式解集表示在数轴上如下:
故选:B.
4. (2023年•湖南怀化•4分)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现:公羊刚好每户1只;若每户发放母羊5只,则多出17只母羊,若每户发放母羊7只,则有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共( )只.
A.55 B.72 C.83 D.89
【答案】C
【解答】解:设该村共有x户,则母羊共有(5x+17)只,
由题意知,
解得:<x<12,
∵x为整数,
∴x=11,
则这批种羊共有11+5×11+17=83(只),
故选:C.
5. 2023年·台湾·分)如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明,妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷,她再将卡片以每张15元的价格贩售.若利润等于收入扣掉成本,且成本只考虑设计费与印刷费,则她至少需印多少张卡片,才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成?( )
A.112 B.121 C.134 D.143
【答案】C
【解答】解:设妮娜需印x张卡片,
根据题意得:15x﹣1000﹣5x>0.2(1000+5x),
解得:x>133,
∵x为整数,
∴x≥134.
答:妮娜至少需印134张卡片,才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成.
故选:C.
二、填空题:
6. (2023年•江苏扬州•3分)不等式组的解集为 .
【答案】﹣3<x≤.
【解答】解:解不等式3x+1≥5x,得:x≤,
解不等式>﹣2,得:x>﹣3,
则不等式组的解集为﹣3<x≤,
故答案为:﹣3<x≤.
7. (2023年•贵州省铜仁市•4分)如果不等式组的解集是x<a﹣4,则a的取值范围是 .
【答案】a≥﹣3.
【解答】解:解这个不等式组为x<a﹣4,
则3a+2≥a﹣4,
解这个不等式得a≥﹣3
8. (2017山东烟台)运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作,
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是 .
【答案】:x<8.
【解答】解:依题意得:3x﹣6<18,
解得x<8.
故答案是:x<8.
三、解答题:
9. 解不等式组,并求出其最小整数解.
解:令:,
解不等式①得x>-2,
解不等式②得-x≥1,不等式两边同乘以-得x≤-.∴原不等式组的解集为-2<x≤-.
∴原不等式组的最小整数解是-1
10. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材.若甲单独整理需要40分钟完工;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理20分钟才能完工.
(1)问乙单独整理多少分钟完工?
(2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工?
【解析】:(1)设乙单独整理x分钟完工,根据题意,得
+=1.解得x=80.
经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.
答:乙单独整理80分钟完工.
(2)设甲整理y分钟,根据题意,得
+≥1.解得y≥25.
答:甲至少整理25分钟才能完工.
11. (2023年·唐山丰润区一模)小明解不等式-≤1的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.
解:去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤1.①
去括号,得3+3x-4x+1≤1.②
移项,得3x-4x≤1-3-1.③
合并同类项,得-x≤-3.④
两边都除以-1,得x≤3.⑤
【解析】:错误的是①②⑤,正确解答过程如下:
去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤6.
去括号,得3+3x-4x-2≤6.
移项,得3x-4x≤6-3+2.
合并同类项,得-x≤5.
两边都除以-1,得x≥-5.
12. (2023年•四川省凉山州•10分)根据有理数乘法(除法)法则可知:
①若ab>0(或>0),则或;
②若ab<0(或<0),则或.
根据上述知识,求不等式(x﹣2)(x+3)>0的解集
解:原不等式可化为:(1)或(2).
由(1)得,x>2,
由(2)得,x<﹣3,
∴原不等式的解集为:x<﹣3或x>2.
请你运用所学知识,结合上述材料解答下列问题:
(1)不等式x