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2023学年中考数学考点总动员第09讲不等式组及其应用含解析.doc
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2023 学年 中考 数学 考点 总动员 09 不等式 及其 应用 解析
第9讲 不等式(组)及其应用 1.不等式的基本性质 性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号方向不改变;如果a>b,那么a±c>b±c; 性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号方向不改变;如果a>b,c>0,那么ac>bc,>; 性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变;如果a>b,c<0,那么ac<bc,< . 2.一元一次不等式 (1)定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,且不等式左右两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式. (2)解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(注意不等号方向是否改变). (3)解集在数轴上表示: ①画数轴 ②定边界 ③定方向 x>a  x<a  x≥a  x≤a  3.一元一次不等式组 (1)定义:一般地,关于同一个未知数的几个不等式联立在一起,就组成了一个一元一次不等式组. (2)一元一次不等式组的解集:组成一元一次不等式组的几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集. 注意:不等式的解可以是一个或多个数值,而不等式组的解集是包含所有使不等式成立的解的集合. (3)解一元一次不等式组的步骤:①分别解每个一元一次不等式;②在数轴上表示各不等式的解集;③确定各不等式解集的公共部分;④得到不等式组的解集; (4)几种常见的不等式组的解集(a>b,且a、b为常数): 不等式 组(a>b) 图示 解集 口诀 x≥a 同大取大 x≤b 同小取小 a≤x≤b 大小、小大 中间找 无解 小小、大大 找不到 4.一元一次不等式的应用 (1)列不等式解应用题的基本步骤: ①审题;②设元;③找出能够包含未知数的不等量关系;④列出不等式;⑤解不等式;⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值;⑦写出答案. (2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系,如最大利润、最优方案等,一般所求问题中有“至少(≥)”、“最多(≤)”、“不低于(≥)”、“超过(>)”、“不大于(≤)”等词,要正确理解这些词的含义. 考点1:解一元一次不等式 【例题1】(2023年广西桂林)(6.00分)解不等式<x+1,并把它的解集在数轴上表示出来. 【解析】:去分母,得:5x﹣1<3x+3, 移项,得:5x﹣3x<3+1, 合并同类项,得:2x<4, 系数化为1,得:x<2, 将不等式的解集表示在数轴上如下: 归纳:1. 本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握解不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1;2.将不等式(组)的解集直观地表示在数轴上,体现数形结合的思想;3.在画图时,先确定边界点,解集包含边界点,则边界点是实心圆点;解集不包含边界点,则边界点是空心圆圈,再确定方向(大向右,小向左). 考点2:解一元一次不等式组 【例题2】(2023年·自贡)解不等式组并在数轴上表示其解集. 【解答】解:解不等式①,得x≤2. 解不等式②,得x>1. ∴不等式组的解集为1<x≤2. 将其表示在数轴上,如图所示. 归纳:在数轴上表示解集时,大于号向右,小于号向左,有等号的用实心圆点,无等号的用空心圆圈. (1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用,即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数,不等号要改变方向;(2)求不等式组的整数解时,“实心”点所表示的实数如果是整数,则该点也是所求整数解,如果不是整数,要从离该点最近的整数点开始算起;“空心”点所在的实数如果是整数,则该点不是整数解,如果不是整数,则要从解集中离该点最近的整数点开始算起. 考点3:一元一次不等式的实际应用 【例题3】(2023年湖南益阳10分)为了提高农田利用效益,某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式.某农户有农田20亩,去年开始实施“虾•稻”轮作,去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润=售价﹣成本).由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%,售价下降10%,出售小龙虾每千克获得利润为30元. (1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价; (2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克,若今年的水稻种植成本为600元/亩,稻谷售价为25元/千克,该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克? 【分析】(1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元,由题意列出方程组,解方程组即可; (2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意列出不等式,就不等式即可. 【解答】解:(1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元, 由题意得:, 解得:; 答:去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元; (2)设今年稻谷的亩产量为z千克, 由题意得:20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000, 解得:z≥640; 答:稻谷的亩产量至少会达到640千克. 归纳:本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用;根据题意列出方程组或不等式是解题的关键.归纳总结:1.利用不等式(组)解决实际问题,关键是要抓住题目中表示不等关系的语句,列出不等式,问题的答案不仅要根据解集,还要根据使实际问题有意义确定.2.在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时,为防止漏解和便于比较,我们常用分类讨论的思想方法,对方案的优劣进行探讨. 考点4:一元一次不等式与其它知识的综合应用 【例题4】(2023年·河北中考预测)如图,在数轴上有A,B,C,D四点,点A对应的数为a,点B对应的数为3,点D对应的数为t,若CD=4,且在数轴上移动. (1)若2AB表示的数始终位于点A的左侧,求a的取值范围,并把解集表示在数轴上; (2)当t为何值,且是整数时,点B落在C,D两点之间. 【解析】:(1)∵AB=3-a,2AB表示的数始终位于点A的左侧, ∴2(3-a)<a,解得a>2. ∵a<3, ∴a的取值范围为2<a<3. 在数轴上表示如图. (2)∵CD=4,且当点B落在C,D两点之间, ∴解得3<t<7. ∵t是整数, ∴t可以取4,5或6. 一、选择题: 1. (2023年甘肃省陇南市)(3分)不等式2x+9≥3(x+2)的解集是(  ) A.x≤3 B.x≤﹣3 C.x≥3 D.x≥﹣3 【答案】A 【解答】解:去括号,得2x+9≥3x+6, 移项,合并得﹣x≥﹣3 系数化为1,得x≤3; 故选:A. 2. (2023年•湖北荆门•3分)已知关于x的不等式3x﹣m+1>0的最小整数解为2,则实数m的取值范围是(  ) A.4≤m<7 B.4<m<7 C.4≤m≤7 D.4<m≤7 【答案】A 【解答】解:解不等式3x﹣m+1>0,得:x>, ∵不等式有最小整数解2, ∴1≤<2, 解得:4≤m<7, 故选:A. 3. (2023年•山东滨州•3分)把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,正确的为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解答】解:解不等式x+1≥3,得:x≥2, 解不等式﹣2x﹣6>﹣4,得:x<﹣1, 将两不等式解集表示在数轴上如下: 故选:B. 4. (2023年•湖南怀化•4分)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现:公羊刚好每户1只;若每户发放母羊5只,则多出17只母羊,若每户发放母羊7只,则有一户可分得母羊但不足3只.这批种羊共(  )只. A.55 B.72 C.83 D.89 【答案】C 【解答】解:设该村共有x户,则母羊共有(5x+17)只, 由题意知, 解得:<x<12, ∵x为整数, ∴x=11, 则这批种羊共有11+5×11+17=83(只), 故选:C. 5. 2023年·台湾·分)如图的宣传单为菜克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明,妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷,她再将卡片以每张15元的价格贩售.若利润等于收入扣掉成本,且成本只考虑设计费与印刷费,则她至少需印多少张卡片,才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成?(  ) A.112 B.121 C.134 D.143 【答案】C 【解答】解:设妮娜需印x张卡片, 根据题意得:15x﹣1000﹣5x>0.2(1000+5x), 解得:x>133, ∵x为整数, ∴x≥134. 答:妮娜至少需印134张卡片,才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成. 故选:C. 二、填空题: 6. (2023年•江苏扬州•3分)不等式组的解集为   . 【答案】﹣3<x≤. 【解答】解:解不等式3x+1≥5x,得:x≤, 解不等式>﹣2,得:x>﹣3, 则不等式组的解集为﹣3<x≤, 故答案为:﹣3<x≤. 7. (2023年•贵州省铜仁市•4分)如果不等式组的解集是x<a﹣4,则a的取值范围是   . 【答案】a≥﹣3. 【解答】解:解这个不等式组为x<a﹣4, 则3a+2≥a﹣4, 解这个不等式得a≥﹣3 8. (2017山东烟台)运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作, 若输入x后程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是   . 【答案】:x<8. 【解答】解:依题意得:3x﹣6<18, 解得x<8. 故答案是:x<8. 三、解答题: 9. 解不等式组,并求出其最小整数解. 解:令:, 解不等式①得x>-2, 解不等式②得-x≥1,不等式两边同乘以-得x≤-.∴原不等式组的解集为-2<x≤-. ∴原不等式组的最小整数解是-1 10. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材.若甲单独整理需要40分钟完工;若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理20分钟才能完工. (1)问乙单独整理多少分钟完工? (2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工? 【解析】:(1)设乙单独整理x分钟完工,根据题意,得 +=1.解得x=80. 经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意. 答:乙单独整理80分钟完工. (2)设甲整理y分钟,根据题意,得 +≥1.解得y≥25. 答:甲至少整理25分钟才能完工. 11. (2023年·唐山丰润区一模)小明解不等式-≤1的过程如图.请指出他解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程. 解:去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤1.① 去括号,得3+3x-4x+1≤1.② 移项,得3x-4x≤1-3-1.③ 合并同类项,得-x≤-3.④ 两边都除以-1,得x≤3.⑤ 【解析】:错误的是①②⑤,正确解答过程如下: 去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤6. 去括号,得3+3x-4x-2≤6. 移项,得3x-4x≤6-3+2. 合并同类项,得-x≤5. 两边都除以-1,得x≥-5. 12. (2023年•四川省凉山州•10分)根据有理数乘法(除法)法则可知: ①若ab>0(或>0),则或; ②若ab<0(或<0),则或. 根据上述知识,求不等式(x﹣2)(x+3)>0的解集 解:原不等式可化为:(1)或(2). 由(1)得,x>2, 由(2)得,x<﹣3, ∴原不等式的解集为:x<﹣3或x>2. 请你运用所学知识,结合上述材料解答下列问题: (1)不等式x

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