北京五中2023学年高考数学一模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是函数的极大值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．年部分省市将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A． B． C． D． 4．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣12 5．设点，，不共线，则“”是“”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．设，集合，则（　　） A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 9．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（ ） A． B． C． D． 10．如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（ ） A． B． C． D． 11．设复数满足，则在复平面内的对应点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．函数的对称轴不可能为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________． 14．若实数满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，则_____． 15．已知数列满足：点在直线上，若使、、构成等比数列，则______ 16．复数为虚数单位）的虚部为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明. 某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为： 设该同学化学科的转换等级分为，，求得. 四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67. （1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布. （i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩； （ii）求物理原始分在区间的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望. （附：若随机变量，则，，） 18．（12分）已知函数. （1）证明：当时，； （2）若函数只有一个零点，求正实数的值. 19．（12分）已知矩阵，. 求矩阵； 求矩阵的特征值. 20．（12分）已知椭圆：的长半轴长为，点（为椭圆的离心率）在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，为直线上任一点，过点椭圆上点处的切线为，，切点分别，，直线与直线，分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求的值. 21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点且，，，. 求证：平面平面以； 求二面角的大小. 22．（10分）在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求边上的高. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 方法一：令，则，， 当，时，，单调递减， ∴时，，，且， ∴，即在上单调递增， 时，，，且， ∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意； 当时，存在使得，即， 又在上单调递减，∴时，，所以， 这与是函数的极大值点矛盾． 综上，．故选B． 方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B． 2、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 3、D 【答案解析】 循环依次为 直至结束循环，输出 ，选D. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 4、D 【答案解析】 分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果. 【题目详解】 设， 联立 则， 因为直线经过C的焦点， 所以. 同理可得， 所以 故选：D. 【答案点睛】 本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。 5、C 【答案解析】 利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【题目详解】 由于点，，不共线，则“”； 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【答案点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 6、B 【答案解析】 先化简集合A,再求. 【题目详解】 由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B 【答案点睛】 本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 7、A 【答案解析】 根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【题目详解】 依题意，得，故， 故，，， 则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 8、D 【答案解析】 试题分析：，,故选D. 考点：点线面的位置关系. 9、B 【答案解析】 由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解. 【题目详解】 由图，正八边形分割成个等腰三角形，顶角为， 设三角形的腰为， 由正弦定理可得，解得， 所以三角形的面积为： ， 所以每块八卦田的面积约为：. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题. 10、B 【答案解析】 试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B 点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 11、C 【答案解析】 化简得到，得到答案. 【题目详解】 ，故，对应点在第三象限. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力. 12、D 【答案解析】 由条件利用余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【题目详解】 对于函数，令，解得， 当时，函数的对称轴为，，. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列． 【题目详解】 第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法． 14、 【答案解析】 画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得的比值. 【题目详解】 画出可行域如下图所示，由图可知，当直线过点时，取得最大值7；过点时，取得最小值2，所以. 【答案点睛】 本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 15、13 【答案解析】 根据点在直线上可求得，由等比中项的定义可构造方程求得结果. 【题目详解】 在上，， 成等比数列，，即，解得：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题. 16、1 【答案解析】 试题分析：，即虚部为1，故填：1. 考点：复数的代