北京市大兴区2023学年高考数学倒计时模拟卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，的系数为( ) A．-120 B．120 C．-15 D．15 6．定义在上的奇函数满足，若，，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ） A． B． C． D． 9．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 评分 嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 10．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A． B． C． D． 11．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A．48 B．72 C．90 D．96 12．设，则复数的模等于( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．根据如图所示的伪代码，输出的值为______. 14．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____. 15．由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为，中位数为n，则_________. 16．已知，复数且（为虚数单位），则__________，_________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知A是抛物线E：y2＝2px(p>0)上的一点，以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x＝1于M，N两点. （1）若|MN|＝2，求抛物线E的方程； （2）若0＜p＜1，抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P，Q，点G为PQ的中点，O为坐标原点，求直线OG斜率的取值范围. 18．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的方程； （2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由. 19．（12分）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围. 20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程； （Ⅱ）设分别交于两点（与原点不重合），求的最小值. 21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积. 22．（10分）已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解 【题目详解】 先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时， 故选：C 【答案点睛】 本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题 2、A 【答案解析】 由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【题目详解】 设，且线过定点即为的圆心， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算. 3、C 【答案解析】 将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围. 【题目详解】 依题意 ， 则， 当时，，故函数在上单调递增， 当时，； 而函数在上单调递减， 故， 则只需， 故，解得， 故实数的取值范围为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题. 4、B 【答案解析】 利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解. 【题目详解】 由题意易得平面, 所以, 当且仅当时等号成立, 又阳马体积的最大值为, 所以, 所以堑堵的外接球的半径, 所以外接球的体积, 故选:B 【答案点睛】 本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养. 5、C 【答案解析】 写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数． 【题目详解】 的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C 【答案点睛】 本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 6、C 【答案解析】 首先判断出是周期为的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【题目详解】 由已知为奇函数，得， 而， 所以， 所以，即的周期为. 由于，，， 所以， ， ， . 所以， 又， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 7、C 【答案解析】 由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形，侧棱长为，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【题目详解】 由三视图可知， 几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为，高为的等腰三角形， 侧棱长为，如图： 由底面边长可知，底面三角形的顶角为， 由正弦定理可得，解得， 三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以， 该几何体外接球的表面积为：. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 8、B 【答案解析】 根据空余部分体积相等列出等式即可求解. 【题目详解】 在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查圆柱的体积，属于基础题. 9、C 【答案解析】 计算出、，进而可得出结论. 【题目详解】 由表格中的数据可知，， 由频率分布直方图可知，，则， 由于场外有数万名观众，所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题. 10、C 【答案解析】 根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【题目详解】 根据题意，分两种情况进行讨论： ①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午. 语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种. 综上所述，共有种不同的排法. 故选：C． 【答案点睛】 本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题． 11、D 【答案解析】 因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为：96 点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题． 12、C 【答案解析】 利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【题目详解】 因为, 所以, 由复数模的定义知,. 故选:C 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、7 【答案解析】 表示初值S=1,i=1，分三次循环计算得S=10>0,输出i=7. 【题目详解】 S=1,i=1 第一次循环：S=1+1=2,i=1+2=3； 第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5； 第三次循环：S=5+5=10,i=5+2=7； S=10>9,循环结束，输出：i=7. 故答案为：7 【答案点睛】 本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.