北京市西城区第一五九中学2023学年高考数学考前最后一卷预测卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．若，则的虚部是 A．3 B． C． D． 3．已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D． 5．等比数列的各项均为正数，且，则( ) A．12 B．10 C．8 D． 6．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 98 95 60 73 88 74 86 77 79 94 97 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82 95 90 93 90 85 80 77 99 68 如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出，的值，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．已知函数，若则（ ） A．f(a)<f(b) <f(c) B．f(b) <f(c) <f(a) C．f(a) <f(c) <f(b) D．f(c) <f(b) <f(a) 8．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 9．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是　　 A． B． C． D． 10． “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ） A． B． C．1 D．3 12．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为( ) A． B．3 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________. 14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法. 15．假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为，乙跑出优秀的概率为，丙跑出优秀的概率为，则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________． 16．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）己知，，. （1）求证：； （2）若，求证：. 18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为.若直线交曲线于，两点，求线段的长. 19．（12分）如图，在四棱锥中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中点． 证明：； 设，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角的余弦值． 20．（12分）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明. 21．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 22．（10分）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装. 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图. 表1：一级滤芯更换频数分布表 一级滤芯更换的个数 8 9 频数 60 40 图2：二级滤芯更换频数条形图 以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率. （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率； （2）记表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求的分布列及数学期望； （3）记分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若，且，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【题目详解】 双曲线, 双曲线的渐近线方程为， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题. 2、B 【答案解析】 因为，所以的虚部是.故选B． 3、C 【答案解析】 根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值. 【题目详解】 由题意知，则其中，． 又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此． ①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去； ②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去； ③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立； 综上所得的最大值为． 故选:C 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 4、C 【答案解析】 根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围. 【题目详解】 由得，. 令， 则， 令，解得， 所以当时，，则在内单调递增； 当时，，则在内单调递减； 所以在处取得极大值，即最大值为， 则的图象如下图所示： 由有且仅有一个不动点，可得得或， 解得或. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题. 5、B 【答案解析】 由等比数列的性质求得，再由对数运算法则可得结论． 【题目详解】 ∵数列是等比数列，∴，， ∴． 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 6、D 【答案解析】 根据程序框图判断出的意义，由此求得的值，进而求得的值. 【题目详解】 由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数，的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故，，所以. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 7、C 【答案解析】 利用导数求得在上递增，结合与图象，判断出的大小关系，由此比较出的大小关系. 【题目详解】 因为，所以在上单调递增； 在同一坐标系中作与图象， ，可得，故. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 8、C 【答案解析】 在等比数列中，由即可表示之间的关系. 【题目详解】 由题可知，等比数列中，且公比为2，故 故选：C 【答案点睛】 本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 9、B 【答案解析】 该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为， . 故选B 点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 10、B 【答案解析】 或，从而明确充分性与必要性. 【题目详解】 ， 由可得：或， 即能推出， 但推不出 ∴“”是“”的必要不充分条件 故选 【答案点睛】 本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题. 11、A 【答案解析】 根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值. 【题目详解】 由复数的除法运算化简可得 ， 因为是纯虚数，所以， ∴， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题. 12、B 【答案解析】 根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得. 【题目详解】 由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数， 所以， 解得， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、3 【答案解析】 根据题意，分析可得，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a的值，即可得答案． 【题目详解】 根据题意，正数a、b满足， 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3，此时. 故答案为：3；. 【答案点睛】 本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题. 14、24 【答案解析】 先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可. 【题目详解】 解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有， 若甲乙两名护士到同一地的种数有， 则甲乙两名护士不到同一地的种数有. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题. 15、 【答案解析】 分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可. 【题目详解】 刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为；其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为,三种情况相加得.即刚好有2人跑出优秀的概率为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题. 16、4038. 【答案解析】 由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解． 【题目详解】 由知： 得函数的图象关于点对称 又函数的图象关于点对称 则函数图象与函数图象的交点关于点