2023届黑龙江省哈尔滨九中高考数学四模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）． A． B． C． D． 2．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（ ） A．30 B． C． D．62 3．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为( ) A．-120 B．120 C．-15 D．15 5．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 6．已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 7．如图所示，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 9．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ） A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个 B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 C．8月是空气质量最好的一个月 D．6月份的空气质量最差. 10．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是( ) A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加； B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多； C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ； D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 11．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（ ）． A． B． C．或 D．或 12．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ） A． B．复数的共轭复数是 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法. 14．假设10公里长跑，甲跑出优秀的概率为，乙跑出优秀的概率为，丙跑出优秀的概率为，则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑，刚好有2人跑出优秀的概率为________． 15．已知实数，满足约束条件，则的最小值为______. 16．已知实数x，y满足，则的最大值为____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，已知四棱锥，底面为边长为2的菱形，平面，，是的中点，． （Ⅰ） 证明：； （Ⅱ） 若为上的动点，求与平面所成最大角的正切值． 18．（12分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）. （Ⅰ）证明：平面平面垂直； （Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由. 19．（12分）已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）经过点且斜率存在的直线交椭圆于两点，点与点关于坐标原点对称．连接．求证：存在实数，使得成立． 20．（12分）设抛物线过点. （1）求抛物线C的方程； （2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值. 21．（12分）已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 22．（10分）正项数列的前n项和Sn满足： (1)求数列的通项公式； (2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ . 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【题目详解】 根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，， 平面，且， ∴，，，， ∴这个四棱锥中最长棱的长度是． 故选． 【答案点睛】 本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题． 2、B 【答案解析】 根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可. 【题目详解】 设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：， 因此. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力. 3、A 【答案解析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可． 【题目详解】 作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 4、C 【答案解析】 写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数． 【题目详解】 的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C 【答案点睛】 本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 5、D 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项. 【题目详解】 因为集合 ， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算，属于基础题. 6、C 【答案解析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案. 【题目详解】 双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，， 故，，故，代入双曲线化简得到：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 7、A 【答案解析】 联立直线方程与椭圆方程，解得和的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得，由离心率定义可得结果. 【题目详解】 由，得，所以，. 由题意知，所以，. 因为,所以,所以. 所以，所以， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题. 8、B 【答案解析】 根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解. 【题目详解】 因为，所以 所以， 又也在直线上， 所以， 解得 所以. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9、D 【答案解析】 由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选． 10、D 【答案解析】 根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项. 【题目详解】 对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D. 【答案点睛】 本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题. 11、D 【答案解析】 先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可. 【题目详解】 构造函数， 则 由题可知，所以在时为增函数； 由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数； 又，即 即 又为开口向上的偶函数 所以，解得或 故选：D 【答案点睛】 此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 12、D 【答案解析】 首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【题目详解】 由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、24 【答案解析】 先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可. 【题目详解】 解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有， 若甲乙两名护士到同一地的种数有， 则甲乙两名护士不到同一地的种数有. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题. 14、 【答案解析】 分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可. 【题目详解】 刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙两人跑出优秀的概率为；其二是只有甲、丙两人跑出优秀的概率为；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为,三种情况相加得.即刚好有2人跑出优秀的概率为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题. 15、 【答案解析】 作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解与点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立，解得点B坐标，即可求得答案. 【题目详解】 作出满足约束条件的可行域，该目标函数视为可行解与点的斜率，故 由题可知，联立得,联立得 所以，故 所以的最小值为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题. 16、1 【答案解析】 直接用表示出，然后由不等式性质得出结论． 【题目详解】 由题意， 又，∴，即， ∴的最大值为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）. 【答案解析】 试题分析：（Ⅰ）由底面为边长为2的菱形，平面，，易证平面，可得；（Ⅱ）连结，由（Ⅰ）易知为与平面所成的角，在中，可求得. 试题解析：（Ⅰ）∵ 四边