2023届湖南省株洲二中高考压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平面四边形中，满足，且，沿着把折起，使点到达点的位置，且使，则三棱锥体积的最大值为（ ） A．12 B． C． D． 3．在的展开式中，的系数为( ) A．-120 B．120 C．-15 D．15 4．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．6 5．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ） A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强 6．，则与位置关系是 (　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 7．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ） A． B． C．l D．1 8．已知函数在上单调递增，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 9．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．已知复数，，则（ ） A． B． C． D． 11．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 12．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数，则的值为 ____ 14．已知，则展开式中的系数为__ 15．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________. 16．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）. （1）分别求，关于x的函数关系式； （2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值. 18．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，的平分线与交于点D，与的外接圆交于点E（异于点A），，求的值. 19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：. （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程. 20．（12分）已知数列{an}满足条件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn． 21．（12分）如图，四边形是边长为3的菱形，平面. （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值. 22．（10分） [选修4 - 5：不等式选讲] 已知都是正实数，且，求证: ． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解 【题目详解】 如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题 2、C 【答案解析】 过作于，连接，易知，，从而可证平面，进而可知，当最大时，取得最大值，取的中点，可得，再由，求出的最大值即可. 【题目详解】 在和中，，所以，则， 过作于，连接，显然，则，且， 又因为，所以平面， 所以， 当最大时，取得最大值，取的中点，则， 所以， 因为，所以点在以为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8， 所以的最大值为椭圆的短轴长的一半，故最大值为， 所以最大值为，故的最大值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 3、C 【答案解析】 写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数． 【题目详解】 的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C 【答案点睛】 本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 4、C 【答案解析】 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解. 【题目详解】 设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为， 则，，设 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得： ， 则 当且仅当时，取等号. 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 5、D 【答案解析】 根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【题目详解】 对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A正确； 对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确； 对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为 ， 乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确； 对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误； 故选：D 【答案点睛】 本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 6、D 【答案解析】 结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交． 选D． 7、A 【答案解析】 设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值. 【题目详解】 解：设点，则点，， ， ， 当时，取最小值，最小值为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题. 8、B 【答案解析】 由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围. 【题目详解】 由,可得, 时,,而, 又在上单调递增,且, 所以,则,即,故. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 9、C 【答案解析】 根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【题目详解】 由题可知：直线过定点 且在是关于对称 如图 通过图像可知：直线与最多有9个交点 同时点左、右边各四个交点关于对称 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题. 10、B 【答案解析】 分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得 详解： ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题. 11、C 【答案解析】 试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直 考点：直线与直线的位置关系 12、C 【答案解析】 分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有种，进而得到结果. 【题目详解】 当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种情况，由间接法得到满足条件的情况有 当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有种， 由间接法得到满足条件的情况有 共有：种情况，不考虑限制因素，总数有种， 故满足条件的事件的概率为： 故答案为：C. 【答案点睛】 解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、4 【答案解析】 根据的正负值，代入对应的函数解析式求解即可. 【题目详解】 解： . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查分段函数函数值的求解，是基础题. 14． 【答案解析】 由题意求定积分得到的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中的系数． 【题目详解】 ∵已知，则， 它表示4个因式的乘积． 故其中有2个因式取，一个因式取，剩下的一个因式取1，可得的项． 故展开式中的系数． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题． 15、 【答案解析】 由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案. 【题目详解】 因为为偶函数，在上有唯一零点， 所以，∴，∴， ∴为首项为2，公比为2的等比数列.所以，. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题. 16、 【答案解析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案． 【题目详解】 ，， 则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为， 故答案为 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），.，. （2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米. 【答案解析】 （1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得. 【题目详解】 解：（1），是边长为3的