2023届维吾尔自治区昌吉自治州北京大学附属中学高考仿真模拟数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 2．双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( ) A． B．3 C．2 D． 4．已知集合，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B、任务C不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A．36种 B．44种 C．48种 D．54种 8．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( ) A． B． C． D． 9．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 10．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知定义在上函数的图象关于原点对称，且，若，则（ ） A．0 B．1 C．673 D．674 12．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________. 14．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ． 15．若，则______. 16．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的交线为，求二面角的正弦值. 18．（12分）已知的内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长的最小值. 19．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点. 20．（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是. （1）求椭圆的标准方程. （2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 21．（12分）已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中： （1）证明：平面平面ABC； （2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值. 22．（10分）设数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解. 【题目详解】 由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种， 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种， 所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 2、D 【答案解析】 根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可. 【题目详解】 ∵双曲线的一条渐近线方程为， 可得，∴， ∴双曲线的离心率. 故选：D. 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 3、D 【答案解析】 本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可． 【题目详解】 结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故 对三角形运用余弦定理，得到， 而结合，可得，，代入上式子中，得到 ，结合离心率满足，即可得出，故选D． 【答案点睛】 本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 4、B 【答案解析】 因为,所以,所以或. 若，则,满足. 若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B. 5、A 【答案解析】 由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【题目详解】 由得：， 对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：. 【答案点睛】 本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 6、A 【答案解析】 作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断． 【题目详解】 作出函数的图象如图， 由图可知，， 函数有2个零点，即有两个不同的根， 也就是与在上有2个交点，则的最小值为； 设过原点的直线与的切点为，斜率为， 则切线方程为， 把代入，可得，即，∴切线斜率为， ∴k的取值范围是， ∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件， 故选A． 【答案点睛】 本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题． 7、B 【答案解析】 分三种情况，任务A排在第一位时，E排在第二位；任务A排在第二位时，E排在第三位；任务A排在第三位时，E排在第四位，结合任务B和C不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案． 【题目详解】 六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F， 如果任务A排在第一位时，E排在第二位，剩下四个位置，先排好D、F，再在D、F之间的3个空位中插入B、C，此时共有排列方法：； 如果任务A排在第二位时，E排在第三位，则B，C可能分别在A、E的两侧，排列方法有，可能都在A、E的右侧，排列方法有； 如果任务A排在第三位时，E排在第四位，则B，C分别在A、E的两侧； 所以不同的执行方案共有种． 【答案点睛】 本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题． 8、A 【答案解析】 令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值. 【题目详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且， 若，即，则，则，且， 故， 若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A. 【答案点睛】 解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想. 9、A 【答案解析】 由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域. 【题目详解】 ，，， 因此，函数的值域为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【题目详解】 圆的圆心为， 由题意可得，即，，， 则，当且仅当且即时取等号， 故选：． 【答案点睛】 本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 11、B 【答案解析】 由题知为奇函数，且可得函数的周期为3，分别求出知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得. 【题目详解】 因为为奇函数，故； 因为，故， 可知函数的周期为3； 在中，令，故， 故函数在一个周期内的函数值和为0， 故. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 12、B 【答案解析】 由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解. 【题目详解】 ,所以离心率, 又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有, 而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即, 所以,所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选:B 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、（或写成） 【答案解析】 设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案. 【题目详解】 设与的夹角为 可得， 故，将代入可得 得到， 于是与的夹角为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力. 14、-2 【答案解析】 试题分析：， 考点：等比数列性质及求和公式 15、 【答案解析】 直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出的值． 【题目详解】 解：若，则， 即，所以． 故答案为：． 【答案