云南省元江县民族中学2023学年高考数学一模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合（为实数集），，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 6．函数的大致图象为 A． B． C． D． 7．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ） A． B． C． D． 10．设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（ ） A． B． C． D． 11．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当∥轴，点的横坐标是 14．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________． 15．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 16．四边形中，，，，，则的最小值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由. 设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？ 18．（12分）已知函数f（x）ax﹣lnx（a∈R）. （1）若a＝2时，求函数f（x）的单调区间； （2）设g（x）＝f（x）1，若函数g（x）在上有两个零点，求实数a的取值范围. 19．（12分）如图在棱锥中，为矩形，面， （1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由； （2）当为中点时，求二面角的余弦值. 20．（12分）已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. （1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程； （2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离. 21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于、两点，与圆相交于、两点，求的取值范围. 22．（10分）已知函数. （1）求证：当时，； （2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据集合交集与补集运算,即可求得. 【题目详解】 集合,, 所以 所以 故选:A 【答案点睛】 本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 2、B 【答案解析】 由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程． 【题目详解】 由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题． 3、A 【答案解析】 分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球， 有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现三种情况； 如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝， 对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A. 点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果. 4、D 【答案解析】 根据演绎推理进行判断． 【题目详解】 由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨，必有丙同学去了远古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查演绎推理，掌握演绎推理的定义是解题基础． 5、A 【答案解析】 将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程. 【题目详解】 双曲线得，则其渐近线方程为， 整理得. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用. 6、A 【答案解析】 因为，所以函数是偶函数，排除B、D， 又，排除C，故选A． 7、B 【答案解析】 利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值． 【题目详解】 数列是公比为的正项等比数列，、满足， 由等比数列的通项公式得，即， ，可得，且、都是正整数， 求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值. 当且时，的最小值为. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题． 8、B 【答案解析】 根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【题目详解】 函数 则函数的最大值为2， 存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即 故答案为：B. 【答案点睛】 这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合. 9、B 【答案解析】 先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【题目详解】 不超过的素数有：、、、、、， 在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况， 其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况， 因此，所求事件的概率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项. 【题目详解】 由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为. ①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是， 两种事件又是互斥的,∴，即，∴， ∴数列是以为公比的等比数列，而，所以， ∴当时，， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题. 11、D 【答案解析】 利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围. 【题目详解】 的定义域为，， 所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，， 所以在区间上的最大值为. 要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形， 则需恒成立，且， 也即，也即当、时，成立， 即，且，解得.所以的取值范围是. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题. 12、B 【答案解析】 由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可. 【题目详解】 解：显然是偶函数 所以只需时，有且只有2个零点即可 令，则 令， 递减，且 递增，且 时，有且只有2个零点， 只需 故选：B 【答案点睛】 考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过∥轴，可得B点坐标，于是再利用可得答案. 【题目详解】 根据题意，可设点，则,由于∥轴，故，代入， 可得，即，由于在线段上，故，即，解得 . 14、1 【答案解析】 由题意得展开式的二项式系数之和求出的值，然后再计算展开式各项系数的和. 【题目详解】 由题意展开式的二项式系数之和为，即，故，令，则展开式各项系数的和为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，需要掌握解题方法. 15、2 【答案解析】 根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率. 【题目详解】 据题设分析知，，所以，得， 所以双曲线的离心率. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 16、 【答案解析】 在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果. 【题目详解】 ， 如图，在中，由正弦定理可得， 即，故当时，取到最小值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查解三角形，同时也考查了常见