上海交大附属中学2023学年高考压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（ ） A． B． C． D． 3．已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（ ） A． B．16 C． D． 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A． B． C．2 D． 5．是虚数单位，则（ ） A．1 B．2 C． D． 6．函数的部分图像大致为（ ） A． B． C． D． 7．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（ ） A．－2 B．－4 C．3 D．－3 9．如图，棱长为的正方体中，为线段的中点，分别为线段和 棱 上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ） A． B． C． D． 11．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ） A．或 B． C． D． 12．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( ) A． B．3 C．2 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数，则________；满足的的取值范围为________. 14．若变量，满足约束条件则的最大值为________. 15．若实数，满足不等式组，则的最小值为______. 16．已知，满足约束条件，则的最大值为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若关于的不等式在区间内无解，求实数的取值范围. 18．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表： 戴口罩 不戴口罩 青年人 50 10 中老年人 20 20 （1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？ （2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19．（12分）在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求边上的高. 20．（12分）如图，在中，，，点在线段上. （1）若，求的长； （2）若，，求的面积. 21．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由. 22．（10分）已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可 【题目详解】 解不等式可得， 解绝对值不等式可得， 由于为的子集， 据此可知“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题. 2、D 【答案解析】 利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【题目详解】 由 所以 ， 所以原式 所以原式 故 故选：D 【答案点睛】 本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题. 3、C 【答案解析】 根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度. 【题目详解】 由于平面平面，且交线为，，所以平面，平面.所以和分别是直线与平面所成的角，所以，所以，即，所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，，设（点在第一象限内），由得，即，化简得，由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以点的轨迹长度为. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 4、A 【答案解析】 由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形， 且两直角边分别为和，所以底面面积为 高为的三棱锥，所以三棱锥的体积为，故选A． 5、C 【答案解析】 由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解. 【题目详解】 由. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查复数的除法和模，属于基础题. 6、A 【答案解析】 根据函数解析式，可知的定义域为，通过定义法判断函数的奇偶性，得出，则为偶函数，可排除选项，观察选项的图象，可知代入，解得，排除选项，即可得出答案. 【题目详解】 解：因为， 所以的定义域为， 则， ∴为偶函数，图象关于轴对称，排除选项， 且当时，，排除选项，所以正确. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除. 7、A 【答案解析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案. 【题目详解】 解：， 在复平面内对应的点的坐标是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 8、D 【答案解析】 设，，设：，联立方程得到，计算 得到答案. 【题目详解】 设，，故. 易知直线斜率不为，设：，联立方程， 得到，故，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键 . 9、D 【答案解析】 取中点，过作面，可得为等腰直角三角形，由，可得，当时， 最小，由 ，故，即可求解. 【题目详解】 取中点，过作面，如图： 则，故， 而对固定的点，当时， 最小． 此时由面，可知为等腰直角三角形，， 故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 10、D 【答案解析】 作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【题目详解】 如图，作出A，B，C，D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D是正确选项， 故选：D． 【答案点睛】 本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好． 11、C 【答案解析】 设公差为，则由题意可得，解得，可得.令 ，可得 当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的. 【题目详解】 解：等差数列中，已知，且，设公差为， 则，解得 ， . 令 ，可得，故当时，，当时，， 故数列前项和中最小的是. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题. 12、D 【答案解析】 本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可． 【题目详解】 结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故 对三角形运用余弦定理，得到， 而结合，可得，，代入上式子中，得到 ，结合离心率满足，即可得出，故选D． 【答案点睛】 本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得； 【题目详解】 解：因为， 所以， ∵， ∴当时，满足题意，∴； 当时，由， 解得.综合可知：满足的的取值范围为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题. 14、7 【答案解析】 画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值. 【题目详解】 作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示. 观察可知，当直线过点时，有最大值，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题. 15、5 【答案解析】 根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解 【题目详解】 画出不等式组，表示的平面区域如图阴影区域所示， 令，则.分析知，当，时，取得最小值，且. 【答案点睛】 本题考查线性规划问题，属于基础题 16、 【答案解析】 根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解. 【题目详解】 可行域如图所示， 易知当，时，的最大值为． 故答案为：9. 【答案点睛】 本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）只需分，，三种情况讨论即可； （2）在区间上恒成立，转化为，只需求出即可. 【题目详解】 （1）当时，，此时不等式无解；当时，， 由得；当时，，由得， 综上，不等式的解集为； （2）依题意，在区间上恒成立，则，当时， ；当时，，所以当时，， 由得或，所以实数的取值范围为. 【答案点睛】 本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，考查学生分类讨论与转化与化归的思想，是一道基础题. 18、（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关. （2） 【答案解析】 (1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断. (2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果. 【题目详解】 （1）由题意可知， 有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关. （2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为. 人未戴口罩，恰有2人