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2023
江苏省
南通市
星湖
中学
高考
仿真
模拟
数学试卷
解析
2023学年高考数学模拟测试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,若,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
2.已知向量,且,则等于( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.若直线与曲线相切,则( )
A.3 B. C.2 D.
4.从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=﹣x﹣2,则( )
A. B.f(sin3)<f(cos3)
C. D.f(2020)>f(2019)
6.已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为( )
A. B. C. D.
7.执行如图的程序框图,若输出的结果,则输入的值为( )
A. B.
C.3或 D.或
8.已知双曲线的左焦点为,直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直,直线与双曲线的左支交于不同的两点,,若,则该双曲线的离心率为( ).
A. B. C. D.
9.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,,则 D.若,,,则
10.甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是( )
A. B. C. D.
11.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,, 则异面直线与所成的角为____.
14.已知集合,,则_________.
15.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则__________.
16.设、分别为椭圆:的左、右两个焦点,过作斜率为1的直线,交于、两点,则________
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数的导函数的两个零点为和.
(1)求的单调区间;
(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.
18.(12分)已知非零实数满足.
(1)求证:;
(2)是否存在实数,使得恒成立?若存在,求出实数的取值范围; 若不存在,请说明理由
19.(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
(1)证明:AP∥平面EBD;
(2)证明:BE⊥PC.
20.(12分)已知函数
(1)若函数在处取得极值1,证明:
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
21.(12分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为;
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交点分别为,,点,求的值.
22.(10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求的取值范围.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【答案解析】
根据题意,求出函数的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数,又由,分析可得答案.
【题目详解】
解:根据题意,函数,其导数函数,
则有在上恒成立,
则在上为增函数;
又由,
则;
故选:.
【答案点睛】
本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数单调性的性质,属于基础题.
2、D
【答案解析】
由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.
【题目详解】
因为,且,
,
则.
故选:.
【答案点睛】
本题主要考查了向量垂直的坐标表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
3、A
【答案解析】
设切点为,对求导,得到,从而得到切线的斜率,结合直线方程的点斜式化简得切线方程,联立方程组,求得结果.
【题目详解】
设切点为,
∵,∴
由①得,
代入②得,
则,,
故选A.
【答案点睛】
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,直线方程的点斜式,属于简单题目.
4、A
【答案解析】
根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标,进而求出点的坐标,代入斜率公式即可求解.
【题目详解】
设点的坐标为,
由题意知,焦点,准线方程,
所以,解得,
把点代入抛物线方程可得,
,因为,所以,
所以点坐标为,
代入斜率公式可得,.
故选:A
【答案点睛】
本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力;属于基础题.
5、B
【答案解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函数f(x)在定义域上的图象,由此结合选项判断即可.
【题目详解】
由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函数且周期为2,
先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]时的图象,然后根据周期为2依次平移,
并结合f(x)是偶函数作出f(x)在R上的图象如下,
选项A,,
所以,选项A错误;
选项B,因为,所以,
所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),选项B正确;
选项C,,
所以,即,
选项C错误;
选项D,,选项D错误.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查函数性质的综合运用,考查函数值的大小比较,考查数形结合思想,属于中档题.
6、C
【答案解析】
对此分段函数的第一部分进行求导分析可知,当时有极大值,而后一部分是前一部分的定义域的循环,而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍,故此得到极大值点的通项公式,且相应极大值,分组求和即得
【题目详解】
当时,,
显然当时有,,
∴经单调性分析知
为的第一个极值点
又∵时,
∴,,,…,均为其极值点
∵函数不能在端点处取得极值
∴,,
∴对应极值,,
∴
故选:C
【答案点睛】
本题考查基本函数极值的求解,从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列,最后分组求和,要求学生对数列和函数的熟悉程度高,为中档题
7、D
【答案解析】
根据逆运算,倒推回求x的值,根据x的范围取舍即可得选项.
【题目详解】
因为,所以当,解得 ,所以3是输入的x的值;
当时,解得,所以是输入的x的值,
所以输入的x的值为 或3,
故选:D.
【答案点睛】
本题考查了程序框图的简单应用,通过结果反求输入的值,属于基础题.
8、A
【答案解析】
直线的方程为,令和双曲线方程联立,再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可.
【题目详解】
由题意可知直线的方程为,不妨设.
则,且
将代入双曲线方程中,得到
设
则
由,可得,故
则,解得
则
所以双曲线离心率
故选:A
【答案点睛】
此题考查双曲线和直线相交问题,联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解,属于一般性题目.
9、C
【答案解析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【题目详解】
对于,当为内与垂直的直线时,不满足,错误;
对于,设,则当为内与平行的直线时,,但,错误;
对于,由,知:,又,,正确;
对于,设,则当为内与平行的直线时,,错误.
故选:.
【答案点睛】
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.
10、B
【答案解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.
【题目详解】
设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,
故选:B.
【答案点睛】
本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.
11、C
【答案解析】
模拟程序的运行即可求出答案.
【题目详解】
解:模拟程序的运行,可得:
p=1,
S=1,输出S的值为1,
满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,
满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,
满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,
满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,
此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,
故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,
故选:C.
【答案点睛】
本题主要考查程序框图,属于基础题.
12、A
【答案解析】
分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.
详解:根据题意有,如果交换一个球,
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,
红球的个数就会出现三种情况;
如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,
对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.
点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、
【答案解析】
要求两条异面直线所成的角,需要通过见中点找中点的方法,找出边的中点,连接出中位线,得到平行,从而得到两条异面直线所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.
【题目详解】
取的中点E,连AE, ,易证,∴为异面直线与所成角,
设等边三角形边长为,易算得∴在
∴
故答案为
【答案点睛】
本题考查异面直线所成的角,本题是一个典型的异面直线所成的角的问题,解答时也是应用典型的见中点找中点的方法,注意求角的三个环节,一画,二证,三求.
14、
【答案解析】
根据交集的定义即可写出答案。
【题目详解】
,,
故填
【答案点睛】
本题考查集合的交集,需熟练掌握集合交集的定义,属于基础题。
15、
【答案解析】
设