2023届上海市杨思高中高考数学五模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（） A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i 2．是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足 ，，则动点的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 4．已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知实数，满足，则的最大值等于( ) A．2 B． C．4 D．8 6．函数在上为增函数，则的值可以是( ) A．0 B． C． D． 7．是抛物线上一点，是圆关于直线的对称圆上的一点，则最小值是（ ） A． B． C． D． 8．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 9．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( ) A． B． C． D． 10．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ） A．2 B．4 C． D．8 11．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 12．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（ ） A．2 B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知实数，满足，则目标函数的最小值为__________． 14．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________. 15．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x的系数为_____ 16．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为_______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知点，且，满足条件的点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）是否存在过点的直线，直线与曲线相交于两点，直线与轴分别交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 18．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点． （I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）； （II）设，若，，成等比数列，求的值． 19．（12分）已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2） （1）求证：平面； （2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且. （1）讨论的单调性 （2）求实数和a的值 （3）证明 21．（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数； （Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 22．（10分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点. （1）求的值及该圆的方程； （2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 两边同乘-i，化简即可得出答案． 【题目详解】 i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D. 【答案点睛】 的共轭复数为 2、B 【答案解析】 解出，计算并化简可得出结论． 【题目详解】 λ（）， ∴， ∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算是关键． 3、A 【答案解析】 求函数定义域得集合M，N后，再判断． 【题目详解】 由题意，，∴． 故选A． 【答案点睛】 本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定． 4、C 【答案解析】 先求导得（），由于函数有两个不同的极值点，，转化为方程有两个不相等的正实数根，根据，，，求出的取值范围，而有解，通过分裂参数法和构造新函数，通过利用导数研究单调性、最值，即可得出的取值范围. 【题目详解】 由题可得：（）， 因为函数有两个不同的极值点，， 所以方程有两个不相等的正实数根， 于是有解得. 若不等式有解， 所以 因为 . 设， ，故在上单调递增， 故， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度. 5、D 【答案解析】 画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值. 【题目详解】 画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以， 所以原点到可行域上的点的最大距离为. 所以的最大值为. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6、D 【答案解析】 依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案. 【题目详解】 当时，在上不单调，故A不正确； 当时，在上单调递减，故B不正确； 当时，在上不单调，故C不正确； 当时，在上单调递增，故D正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题. 7、C 【答案解析】 求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得出圆关于直线的对称圆的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出，即可得解. 【题目详解】 如下图所示： 设点关于直线的对称点为点， 则，整理得，解得，即点， 所以，圆关于直线的对称圆的方程为， 设点，则， 当时，取最小值，因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题. 8、D 【答案解析】 求解不等式，得到集合A，B，利用交集、补集运算即得解 【题目详解】 由于 故集合 或 故集合 故选：D 【答案点睛】 本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 9、A 【答案解析】 求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案． 【题目详解】 满足条件的正如下图所示： 其中正的面积为， 满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为. 则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 10、B 【答案解析】 根据题意得到，，解得答案. 【题目详解】 ，，解得或（舍去）. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 11、D 【答案解析】 利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【题目详解】 因为，， 故. 又，故. 因为当时，函数是单调递减函数， 所以. 因为为偶函数，故， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题. 12、D 【答案解析】 选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【题目详解】 由题意是的重心， ， ∴，， ∴， 故选：D． 【答案点睛】 本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、-1 【答案解析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【题目详解】 作出实数x，y满足对应的平面区域如图阴影所示； 由z＝x+2y﹣1，得yx， 平移直线yx，由图象可知当直线yx经过点A时， 直线yx的纵截距最小，此时z最小． 由，得A（﹣1，﹣1）， 此时z的最小值为z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1， 故答案为﹣1． 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题 14、 【答案解析】 试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件为“取出球的编号互不相同”， 则事件包含了个基本事件，所以. 考点：1.计数原理；1．古典概型. 15、2025 【答案解析】 利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数. 【题目详解】 依题意，令，解得，所以，则二项式的展开式的通项为： 令，得，所以的系数为. 故答案为：2025 【答案点睛】 本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题. 16、 【答案解析】 根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示，再由双曲线a，b，c关系表示，最后结合双曲线离心率公式计算得答案. 【题目详解】 因为双曲线为，所以该双曲线的渐近线方程为. 又因为其一条渐近线经过点，即，则， 由此可得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）存在， 或． 【答案解析】 （1）由得看成到两定点的和为定值，满足椭圆定义，用定义可解曲线的方程. （2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线的斜率存在时，设直线点斜式方程，由，可得，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于的一元二次方程求解. 【题目详解】 解：设， 由， ， 可得，即为， 由，可得的轨迹是以为焦点，且的椭圆， 由，可得，可得曲线的方程为； 假设存在过点的直线l符合题意． 当直线的斜率不存在，设方程为，可得为短轴的两个端点， 不成立； 当直线的斜率存在时，设方程为， 由，可得，即， 可得，化为， 由可得， 由在椭圆内，可得直线与椭圆相交， ， 则