2023届湖南省邵阳市第十一中学高考数学倒计时模拟卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（ ） A．2 B． C． D．3 2．已知双曲线的左焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线与双曲线的左支交于不同的两点，，若，则该双曲线的离心率为（ ）． A． B． C． D． 3．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（ ） A． B． C． D．2 4．定义运算，则函数的图象是（ ）． A． B． C． D． 5．已知复数满足，则的值为（ ） A． B． C． D．2 6．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( ) A． B． C．（） D．（） 7．如图，中，点D在BC上，，将沿AD旋转得到三棱锥，分别记，与平面ADC所成角为，，则，的大小关系是（ ） A． B． C．，两种情况都存在 D．存在某一位置使得 8．已知实数，，函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知向量，，当时，（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A． B． C． D． 11．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 12．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________． 14．平面向量与的夹角为，，，则__________． 15．在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面，所在平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是__________. 16．学校艺术节对同一类的，，，四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”； 丙说：“，两项作品未获得一等奖”； 丁说：“作品获得一等奖”． 若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）. （1）请用角表示清洁棒的长； （2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 18．（12分）已知函数 （I）若讨论的单调性； （Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：. 19．（12分）已知函数（其中是自然对数的底数） （1）若在R上单调递增，求正数a的取值范围； （2）若f（x）在处导数相等，证明：； （3）当时，证明：对于任意，若，则直线与曲线有唯一公共点（注：当时，直线与曲线的交点在y轴两侧）. 20．（12分）古人云：“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读，建设书香中国，校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査，统计了他们一周课外读书时间（单位：）的数据如下： 一周课外读书时间/ 合计 频数 4 6 10 12 14 24 46 34 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 0.17 1 （1）根据表格中提供的数据，求，，的值并估算一周课外读书时间的中位数. （2）如果读书时间按，，分组，用分层抽样的方法从名学生中抽取20人. ①求每层应抽取的人数； ②若从，中抽出的学生中再随机选取2人，求这2人不在同一层的概率. 21．（12分）等差数列的前项和为，已知，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列{}的前项和为，求使成立的的最小值． 22．（10分）已知数列和满足：. （1）求证:数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【题目详解】 ，； ； 故选：． 【答案点睛】 本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用． 2、A 【答案解析】 直线的方程为，令和双曲线方程联立，再由得到两交点坐标纵坐标关系进行求解即可. 【题目详解】 由题意可知直线的方程为,不妨设. 则，且 将代入双曲线方程中，得到 设 则 由，可得，故 则，解得 则 所以双曲线离心率 故选：A 【答案点睛】 此题考查双曲线和直线相交问题，联立直线和双曲线方程得到两交点坐标关系和已知条件即可求解，属于一般性题目. 3、B 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案. 【题目详解】 如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知： 当时，有最大值为，即，故. . 当，即时等号成立. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 4、A 【答案解析】 由已知新运算的意义就是取得中的最小值， 因此函数， 只有选项中的图象符合要求，故选A. 5、C 【答案解析】 由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模. 【题目详解】 因为，所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 6、B 【答案解析】 如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 7、A 【答案解析】 根据题意作出垂线段，表示出所要求得、角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得答案． 【题目详解】 由题可得过点作交于点，过作的垂线，垂足为，则易得，． 设，则有，，， 可得，． ， ，； ，； ， ，， ． 综上可得，． 故选：． 【答案点睛】 本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 8、D 【答案解析】 根据题意，对于函数分2段分析：当，由指数函数的性质分析可得①，当，由导数与函数单调性的关系可得，在上恒成立，变形可得②，再结合函数的单调性，分析可得③，联立三个式子，分析可得答案. 【题目详解】 解：根据题意，函数在上单调递增， 当，若为增函数，则①， 当， 若为增函数，必有在上恒成立， 变形可得：， 又由，可得在上单调递减，则， 若在上恒成立，则有②， 若函数在上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值， 则需有，③ 联立①②③可得：. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质. 9、A 【答案解析】 根据向量的坐标运算，求出，，即可求解. 【题目详解】 ， . 故选:A. 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题. 10、B 【答案解析】 先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可． 【题目详解】 由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即， ∵是直线上任意一点， 则直线与直线的距离， ∵圆与双曲线的右支没有公共点，则， ∴，即，又 故的取值范围为， 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11、D 【答案解析】 直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【题目详解】 解：函数， 要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题． 12、B 【答案解析】 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【题目详解】 根据已知函数 其中，的图象过点，， 可得，， 解得：． 再根据五点法作图可得， 可得：， 可得函数解析式为： 故把的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 故选B． 【答案点睛】 本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程 【题目详解】 设直线． 由题设得，故， 由题设可得． 由可得， 则， 从而，得， 所以l的方程为, 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了直线的方程，抛物线的定义，抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 14、 【答案解析】 由平面向量模的计算公式，直接计算即可. 【题目详解】 因为平面向量与的夹角为，所以， 所以; 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型. 15、 【答案解析】 根据与相似，，过作于，利用体积公式求解OP最值，根据勾股定理得出，，利用函数单调性判断求解即可. 【题目详解】 ∵在棱长为6的正方体中， 是的中点，点是面所在平面内的动点， 且满足，又， ∴与相似 ∴，即， 过作于，设，， ∴，化简得： ，， 根据函数单调性判断，时，取得最大值36，， 在正方体中平面. 三棱锥体积的最大值为 【答案点睛】 本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般. 16、B 【答案解析】 首先根据“学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖”，故假设分别为一等奖，然后判断甲、乙、丙、丁四位同学的说法的正确性，即可得出结果． 【题目详解】 若A为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错