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2023
四川省
成都
高新区
高考
全国
统考
预测
数学试卷
解析
2023学年高考数学模拟测试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合(为实数集),,,则( )
A. B. C. D.
2.若实数满足的约束条件,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知条件,条件直线与直线平行,则是的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.下列命题是真命题的是( )
A.若平面,,,满足,,则;
B.命题:,,则:,;
C.“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件;
D.命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”.
5.单位正方体ABCD-,黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥,黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(iN*).设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两蚂蚁的距离是( )
A.1 B. C. D.0
6.设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.两圆和相外切,且,则的最大值为( )
A. B.9 C. D.1
8.已知,若对任意,关于x的不等式(e为自然对数的底数)至少有2个正整数解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的值为( )
A.0 B.1 C. D.
10.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图,若,,则输出的( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若满足,则目标函数的最大值为______.
14.抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________.
15.在平面直角坐标系中,点P在直线上,过点P作圆C:的一条切线,切点为T.若,则的长是______.
16.已知向量,,若,则________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)设,求的前100项和.
18.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,且.
(1)求的值;
(2)若,求面积的最大值.
19.(12分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线和直线的极坐标方程分别是()和(),其中().
(1)写出曲线的直角坐标方程;
(2)设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点,,求的面积最小值.
20.(12分)如图所示,直角梯形ABCD中,,,,四边形EDCF为矩形,,平面平面ABCD.
(1)求证:平面ABE;
(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.
(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.
21.(12分)设椭圆的离心率为,圆与轴正半轴交于点,圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点,试判断是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
22.(10分)设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【答案解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.
【题目详解】
集合,,
所以
所以
故选:A
【答案点睛】
本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.
2、B
【答案解析】
根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.
【题目详解】
实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:
将线性目标函数化为,
则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;
当经过时,截距最大值,,
所以线性目标函数的取值范围为,
故选:B.
【答案点睛】
本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.
3、C
【答案解析】
先根据直线与直线平行确定的值,进而即可确定结果.
【题目详解】
因为直线与直线平行,
所以,解得或;即或;
所以由能推出;不能推出;
即是的充分不必要条件.
故选C
【答案点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定,熟记概念即可,属于基础题型.
4、D
【答案解析】
根据面面关系判断A;根据否定的定义判断B;根据充分条件,必要条件的定义判断C;根据逆否命题的定义判断D.
【题目详解】
若平面,,,满足,,则可能相交,故A错误;
命题“:,”的否定为:,,故B错误;
为真,说明至少一个为真命题,则不能推出为真;为真,说明都为真命题,则为真,所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件,故C错误;
命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”,故D正确;
故选D
【答案点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件,写出命题的逆否命题等,属于中档题.
5、B
【答案解析】
根据规则,观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点,得到每爬1步回到起点,周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点,即可计算出它们的距离.
【题目详解】
由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,
即过1段后又回到起点,
可以看作以1为周期,
由,
白蚂蚁爬完2020段后到回到C点;
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,
黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点,
所以它们此时的距离为.
故选B.
【答案点睛】
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题,考查空间想象与推理能力,属于中等题.
6、B
【答案解析】
先解不等式化简两个条件,利用集合法判断充分必要条件即可
【题目详解】
解不等式可得,
解绝对值不等式可得,
由于为的子集,
据此可知“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
【答案点睛】
本题考查了必要不充分条件的判定,考查了学生数学运算,逻辑推理能力,属于基础题.
7、A
【答案解析】
由两圆相外切,得出,结合二次函数的性质,即可得出答案.
【题目详解】
因为两圆和相外切
所以,即
当时,取最大值
故选:A
【答案点睛】
本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数,属于中档题.
8、B
【答案解析】
构造函数(),求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知,要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.
【题目详解】
构造函数(),则(),所以在上单调递增,所以,故问题转化为至少存在两个正整数x,使得成立,设,,则,当时,单调递增;当时,单调递增.,整理得.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.
9、A
【答案解析】
根据输入的值大小关系,代入程序框图即可求解.
【题目详解】
输入,,
因为,所以由程序框图知,
输出的值为.
故选:A
【答案点睛】
本题考查了对数式大小比较,条件程序框图的简单应用,属于基础题.
10、B
【答案解析】
分析:根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为;根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为,根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.
详解: 记执行第次循环时,的值记为有,则有;
记执行第次循环时,的值记为有,则有.
令,则有,故
,故选B.
点睛:本题为算法中的循环结构和数列通项的综合,属于中档题,解题时注意流程图中蕴含的数列关系(比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义,是否是求数列的前和、前项积等).
11、B
【答案解析】
由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.
【题目详解】
由题可知.
所以
令,
得
令,得
故选:B
【答案点睛】
本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.
12、B
【答案解析】
根据分段函数,分当,,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.
【题目详解】
当时,,令,在是增函数,时,有一个零点,
当时,,令
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减,
所以当时,取得最大值,
因为在上有3个零点,
所以当时,有2个零点,
如图所示:
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为,
故选:B
【答案点睛】
本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、-1
【答案解析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【题目详解】
由约束条件作出可行域如图,
化目标函数为,
由图可得,当直线过点时,直线在轴上的截距最大,
由得即,则有最大值,
故答案为.
【答案点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14、
【答案解析】
设抛物线上任意一点的坐标为,根据抛物线的定义求得,并求出对应的,即可得出结果.
【题目详解】
设抛物线上任意一点的坐标为,
抛物线的准线方程为,由抛物线的定义得,解得,此时.
因此,抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.
故答案为:.
【答案点睛】
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标,考查计算能力,属于基础题.
15、
【答案解析】
作出图像,设点,根据已知可得,,且,可解出,计算即得.
【题目详解】
如图,设,圆心坐标为,可得,
,,
,,解得,,
即的长是.
故答案为:
【答案点睛】
本题考查直线与圆的位置关系,以及求平面两点间的距离,运用了数形结合的思想.
16、10
【答案解析】
根据垂直得到,代入计算得到答案.
【题目详解】
,则,解得,
故,故