初三数学 第02讲+初三寒假复习+一元二次方程张燕君.doc

学生 姓名 性别 年级 初三 学科 数学 授课 教师 上课 时间 第（ ）次课 课时： 2 课时 教学 课题 一元二次方程 教学 目标 1. 认识一元二次方程 2. 用配方法解一元二次方程 3. 用公式法解一元二次方程 4. 用因式分解法解一元二次方程 5. 一元二次方程实际应用 教学 重点/ 难点 1.一元二次方程的解法 2.一元二次方程的应用 课后 作业 附教案后 提交 时间 年 月 日 学科组长检查签名： 一元二次方程 知识 典例（注意咯，下面可是黄金部分！） 【知识点】 1. 一元二次方程的概念： 一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，该 方程式的一般形式是：ax²+bx+c=0（a,b,c为常数，a≠0），其中，ax²是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。 2. 一元二次方程需要满足的条件 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2。 3. 一元二次方程的形式： （1） 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c是常数)的形式。 （2） 配方式 （3） 两根式 4. 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。 注意：一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。 5. 一元二次方程的解（根）的判别式 利用一元二次方程的根的判别式（△=）可以判断方程的根的情况。 一元二次方程的判别式可以判断出： ①当△时，方程有两个不相等的实数根； ②当△时，方程有两个相等的实数根； ③当△时，方程无实数根，有2个不相等的复数根。 上述结论反过来也成立。 6. 韦达定理 如果一个一元二次方程有两个实数根，那么他们满足， 7. 解一元二次方程的方法 （1）配方法 形如或的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。 ①如果方程化成的形式，那么可得。 ②如果方程能化成的形式，那么 ，进而得出方程的根。 注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。 　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。 　　③方法是根据平方根的意义开平方。 用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。 （2）公式法 用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。 用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出判别式△=的值，判断根的情况； ③在△=的前提下，把a、b、c的值代入公式 进行计算，求出方程的根。 （3）因式分解法 因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。 【典型例题】 考点一、一元二次方程的判别 例1.下列式子，是一元二次方程的是 例2.方程 （1）m为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）m为何值时，此方程为一元一次方程？ 例3.方程是关于x的一元二次方程，求k的值 变式练习 1.下列方程中是一元二次方程的序号是 ③ 2. 已知，关于2的方程是一元二次方程，则 3. 当 时，方程不是关于X的一元二次方程。 考点二、一元二次方程根的情况 例1.已知x=2是一元二次方程的一个解，则的值是（　　） 例2.一元二次方程x2+x-2=0根的情况是（　　） A.有两个相等的实数根 B.有两个不等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 例3.若关于X的方程有实数根，则k的取值范围是 ． 变式练习 1. 当 时，方程有实数根． 2. 关于x的方程的根的情况是 ． 3. 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　） A. B. C. D. 4.不解方程，判别下列方程根的情况． 考点三、配方法解一元二次方程 例1.用配方法解一元二次方程 （1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9 （3） x2+12x-15=0 （4）x2-x-4=0 例2.用配方法求解下列问题 （1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值 例3.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（ ） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 例4.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（ ） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 变式练习 1.把方程x+3=4x配方，得（ ） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 2.用配方法解方程x2+4x=10的根为（ ） A．2± B．-2± C．-2+ D．2- 3. 不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（ ） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 4. x2+6x+      =（x+    ）2； x2－5x+     =（x－    ）2； x2+ x+      =（x+    ）2； x2－9x+     =（x－    ）2 考点四、用公式法解一元二次方程 例1.指出方程中的，并求出的值。 例2.用公式法解下列方程。 例3.在等腰三角形中，三边分别为，其中。若关于的方程有两个相等的实数根，求△的面积。 例4.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。 （1） 求的取值范围 （2） 请选择一个的负整数值，并求出方程的根。 例4.关于的方程有两个相等是实数根，问正数可以作为一个三角形的三边长么？如果可以，这个三角形是什么形状？ 例5.解方程 变式练习 1.用公式法解下列方程。 2. 关于的方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值。 考点四、用因式分解法解一元二次方程 例1.解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 （3）25y2-16=0 （4）x2-12x+36=0 例2.解方程 例3.如果，请你写出的值。 变式练习 1. 用分解因式法解下列方程 考点五、判别式及韦达定理的综合运用 例1.已知，是一元二次方程的两个实数根，不解方程，求下列各式的值。 （1） （2） （3） 例2.若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值。 例3.已知关于的一元二次方程有两个相等是实数根，求的值。 例4.若关于的方程的一个根式，求另一个根及的值。 例5.关于的方程有两个实数根。 （1） 这两个实数根同号 （2） 这两个实数根异号 （3） 这两个实数根异号，且正的实数根的绝对值较大。 例6.，其中是方程的根。 变式练习 1. 若关于的方程两根的平方和是，求的值。 2. 已知方程的两根之差的平方是，求的值。 3.关于的方程的两实数根之和等于两实数根的倒数，求的值。 考点六、已知方程的解，求方程的表达式 例1.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是（　　） A．-3 B． 3 　C．0 　 D．0或3 例2.观察下列方程，并回答问题： ①x2-1=0；②x2+x-2=0；③x2+2x-3=0；④x2+3x-4=0；…． （1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程； （2）直接写出第2009个方程的根； （3）说出这列方程的根的一个共同特点． 例3.一元二次方程x2−2x−＝0的某个根，也是一元二次方程x2−(k+2)x+＝0的根，求k的值． 例4.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2，m．求m，n的值． 1.已知x=1是一元二次方程3x2-6x+m=0的一个解，求m的值． 2.已知关于x的方程5x2-kx-10=0的一个根为-5，求它的另一个根及k的值． 3.已知关于x的方程x2+bx+a=0，有一个根是-a（a≠0），求a-b的值． 4.若0是关于x的方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况． 考点七、先化简再求值 例1. 考点八、实际应用题 例1.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x