初三数学 第07讲+初三寒假复习+直角三角形边与角的关系+中+邱泽文.doc

www．xinghuo100．com 学生 姓名 性别 年级 初三 学科 数学 授课 教师 上课 时间 第（ ）次课 课时： 2 课时 教学 课题 直角三角形的边角关系 教学 目标 1、能够用tan A表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.能够进行简单的计算。 2、理解锐角三角函数的意义。 3、体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力。 4、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。 教学 重点/ 难点 1、理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 2、理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明. 3、能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比. 4、能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 课后 作业 提交 时间 年 月 日 学科组长检查签名： 直角三角形的边角关系 知识点一：正切的定义 在确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA。 即tanA= 例1：如图， 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD=8，BD=4，求tanA的值。 变式1：在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值. 变式2：在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB. 知识点二：坡度的定义及表示 我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。 斜坡的坡度和坡角的正切值关系是： 注意： （1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a，坡度为，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。 例1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α= ． 例2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 ． 例3、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是 ． 例4、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为 米． 变式1：如图所示，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜坡AB的坡度为1:3，坝高BE=4m，斜坡CD=5m.试比较斜坡AB和CD哪个更陡？ 变式2：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．求加高后的坝底HD的长为多少？ 知识点三：正弦、余弦的定义 在Rt中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。 即sinA= ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。 即cosA= 正弦值越大，∠A越大，梯子越陡；余弦值越小，∠A反而越大，梯子越陡 例1：已知△中，，3cosB=2， AC= ，则AB= ． 例2：直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点 重合，折痕为，则的值是（ ） A B O A． B． C． D． 例3：正方形网格中，如图放置，则的值为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 例4：在Rt△ABC中，∠ACB=90º,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c.若a=12,b=5，分别求出∠A,∠B的三角函数. B C A 变式1：如图4，在中，90°，，，则下列结论正确的是（ ） A．　　　　　B．　 C．　 　　　D．[来源:学科网] 变式2：如图，在中，，点、分别在、上，平分，，，. 求（1）、的长； （2）的值. 知识点四：三角函数的定义 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数。 直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系： （1）三边之间关系：； （2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间关系：sinA=，cosA=，tanA=。（其中∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c） 例1：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是多少？ 例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，周长为30，求△ABC的面积。 变式1：∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=，求CD的长。 变式2：在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=，求tanA的值。 知识点五：30°，45°，60°角的三角函数值 根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。 例1：求下列各式的值。 （1）； （2）。 例2：tan×tan30 =1,且为锐角。则= 例3：锐角A满足2sin(A﹣15)=,则 例4：如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是30°和60° 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高? 变式1：求下列各式的值 （1） （2） （2）(1＋sin30°－cos45°)(1＋sin30°＋cos45°) （3） 变式2：先化简再求值，其中x=tan45º－cos30° 变式2：某一时刻，一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A的俯角为45o；同一时刻，从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4米，求此时钓鱼的人和飞机之间的距离（结果保留整数）。 知识点六：解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 （一） 已知直角三角形的两边解直角三角形 已知条件 解法 已知 两边 两直角边（如a,b） 斜边和一直角边（如c,a） 例1：在Rt△ABC中，∠C=90º,c=,a=3，解这个直角三角形 变式1：在Rt△ABC中，∠C=90º,a=20,b=,解这个直角三角形. （二） 已知直角三角形的一边和一只锐角解直角三角形 已知条件 解法 已知一条边 和一个锐角 一直角边和一锐角（如a,∠A） 斜边和一锐角（如c,∠A） 例2：在Rt△ABC中，∠C=90º,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，解下列直角三角形. （1）已知b=10,∠B=60º； （2）已知c=,∠A=60º. 变式1：已知在Rt△ABC中，∠C=90º,∠A=30º,b=，解这个直角三角形. （三） 解非直角三角形 方法：添加辅助线，转化为两个具有公共边特征的直角三角形，常见的两种形式如下： 【例4-3】 如图所示，在△ABC中，∠A=30º,∠B=45º,AC=,求AB的长. 【变式】 如图，在△ABC中，∠B=45º,∠ACB=120º,AC=6，求BC的长. 综合练习： α 5米 A B 图1 1、如图1，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ） A. B. 　 C. D. 2、如图，在坡屋顶的设计图中，，屋顶的宽度为10米，坡角为35°，则坡屋顶高度为 米．（结果精确到0.1米） A B C h l 3、如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为 . A C(B′) B A′ C′ D 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 . 5、如上图，在△ABC中，已知AB=1，AC=，∠ABC=45°，求BC的长。 6、要求的值，可构造如图所示直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=，则∠ABC=45°,所以。你能否在此基础上，求出的值？ 知识点七：锐角三角函数的应用 知识点1 触礁问题 例1：东海中有某一小岛上有一灯塔A，已知灯塔附近方圆25海里范围内有暗礁，我军110舰在O点处测得灯塔在北偏西60°方向，向正西方向航行20海里后到达B处，侧得灯塔在西北方向，如果该舰继续向西航行，是否有触礁危险？请说明理由． 变式1：某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来临前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援队B立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？（参考数据：） 知识点2 仰角俯角问题 例1：如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号） 变式1：如图，两建筑物的水平距离为36m，从A点测得D点的俯角为36°，测得C点的俯角为45°，求这两座建筑物的高度。（sin36°≈0.588,cos36°≈0.412,tan36°≈0.723,结果保留2位小数） 知识点3 楼梯问题 例1：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). （参考数据：sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，sin35°=0.5736，tan35°=0.7002） 变式1：某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾角为45°减为30°（楼梯高度不变），已知原楼梯长为4m，那么调整的楼梯会增加多长楼梯多占了多长一段地面？（结果可用根式表示） 知识点4 堤坝（横截面问题） 例1：如图水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，高度为2m．tanB=，∠ADC=135°． （1）求BC的长是多少m？ （2）如果坝长100m，那么修建这个大坝共需多少土石方？ 变式2：（2013•广安）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，