2023学年江西省赣州市宁都县第三中学高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前n项和为，且，，则( ) A．9 B．12 C． D． 2．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．已知实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．设集合，，则集合 A． B． C． D． 7．计算等于( ) A． B． C． D． 8．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为( ) A． B． C．或 D．或 9．已知复数，为的共轭复数，则（ ） A． B． C． D． 10．在三角形中，，，求（ ） A． B． C． D． 11．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ） A． B． C． D． 12． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知集合,,则__________． 14．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________． 15．设，则“”是“”的__________条件. 16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论: ①的值域为; ②; ③; ④ 其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号) 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知，函数. （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立. 18．（12分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆的方程； （2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 19．（12分）已知曲线，直线：（为参数）. （I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； （II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值． 20．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点. （1）证明：平面； （2）设是直线上的动点，当点到平面距离最大时，求面与面所成二面角的正弦值. 21．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为 （1）求椭圆的方程； （2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围. 22．（10分）已知，（其中） . (1)求； (2)求证：当时，． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由，可得以及，而，代入即可得到答案. 【题目详解】 设公差为d，则解得 ，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 2、B 【答案解析】 根据充分必要条件的概念进行判断. 【题目详解】 对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立； 若，则可得，必要性成立. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论. 3、C 【答案解析】 利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直角三角形的斜边长为， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为， 所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 4、A 【答案解析】 由的最小正周期是，得， 即 ， 因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A． 考点：函数的图象与性质． 【名师点睛】 三角函数图象变换方法： 5、A 【答案解析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【题目详解】 解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【答案点睛】 本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 6、B 【答案解析】 先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果. 【题目详解】 对于集合A，，解得或，故.对于集合B，，解得.故.故选B. 【答案点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集. 7、A 【答案解析】 利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【题目详解】 原式. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题. 8、A 【答案解析】 利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率. 【题目详解】 曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为. 设与曲线相切于点， 则 所以 到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 9、C 【答案解析】 求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【题目详解】 . 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 10、A 【答案解析】 利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值. 【题目详解】 ，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得，，. 由正弦定理得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 11、B 【答案解析】 由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解. 【题目详解】 由题意可知， 框图的作用是求分段函数的值域， 当； 当 综上：. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 12、C 【答案解析】 先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【题目详解】 解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个， 则基本事件总数为， 则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数， ∴6和28不在同一组的概率. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 直接根据集合和集合求交集即可. 【题目详解】 解: , , 所以. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算,是基础题. 14、 【答案解析】 由题意容积，求导研究单调性，分析即得解. 【题目详解】 由题意：容积，， 则， 由得或（舍去）， 令 则为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了导数在实际问题中的应用，考查了学生数学建模，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 15、充分必要 【答案解析】 根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系. 【题目详解】 当时，有，故“”是“”的充分条件. 当时，有，故“”是“”的必要条件. 故“”是“”的充分必要条件， 故答案为：充分必要. 【答案点睛】 本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题. 16、② 【答案解析】 根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比小的有理数个数，即可确定④. 【题目详解】 对于①，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以①错误； 对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以②正确； 对于③，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以③错误； 对于④，由定义可知 ，所以④错误； 综上可知，正确的为②. 故答案为：②. 【答案点睛】 本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）见解析 【答案解析】 （1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围； （2）不妨设，，， 利用导数说明函数在上是减函数，即可得证； 【题目详解】 解：（1）∵ ∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立， ∴在上恒成立.设， ∵函数在上单调递增，∴， ∴，∴实数的取值范围为. （2）不妨设，，， 则， ∴. ∵，∴， 又，令，∴， ∴在上为减函数，∴， ∴，即， ∴在上是减函数，∴，即， ∴， ∴当时，. ∵，∴. 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能