2023学年河北省唐山市乐亭一中高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（ ） A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147 2．设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 3．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：） A．个 B．个 C．个 D．个 4．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 7．若，则的虚部是 A．3 B． C． D． 8．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( ) A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关 B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大 C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个 D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 9．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）为（ ） A． B．6 C． D． 10．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ） A． B． C． D． 11．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 12．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ） A．2 B．4 C． D．8 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______. 14．函数在区间上的值域为______. 15．如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________． 16．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.则该农作物的年平均产量是______吨. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，其中. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 18．（12分）已知是各项都为正数的数列，其前项和为，且为与的等差中项． （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求的前100项和． 19．（12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，若. （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，，求. 20．（12分）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线和直线的极坐标方程分别是（）和（），其中（）. （1）写出曲线的直角坐标方程； （2）设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点，，求的面积最小值. 21．（12分）已知集合，. （1）若，则； （2）若，求实数的取值范围. 22．（10分）已知函数， （Ⅰ）当时，证明； （Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可 【题目详解】 如图，由几何概型公式可知：. 故选：B 【答案点睛】 本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题 2、B 【答案解析】 由奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果. 【题目详解】 由题意知：定义域为， ，为偶函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，则在上单调递减， 由得：，解得：或， 的取值范围为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 3、C 【答案解析】 计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案. 【题目详解】 由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体， 易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为cm， 若想要盖上盖子，则需要满足，解得， 所以最多可以装层球，即最多可以装个球． 故选： 【答案点睛】 本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 4、B 【答案解析】 依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解 【题目详解】 作出不等式对应的平面区域，如图所示： 其中，直线过定点， 当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意； 当时，直线的斜率， 不等式表示直线下方的区域，不满足题意； 当时，直线的斜率， 不等式表示直线上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点， 使不等式成立，只需直线的斜率，解得. 综上可得实数的取值范围为， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题 5、D 【答案解析】 由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件，求得，从而求得，解不等式求得结果. 【题目详解】 由题意，本题符合几何概型，区间长度为6， 使得成立的的范围为，区间长度为2， 故使得成立的概率为， 又，，， 令，则有，故的最小值为11， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 6、D 【答案解析】 先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解. 【题目详解】 由题得函数的定义域为. 因为， 所以为上的偶函数， 因为函数都是在上单调递减. 所以函数在上单调递减. 因为， 所以，且， 解得. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7、B 【答案解析】 因为，所以的虚部是.故选B． 8、D 【答案解析】 根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【题目详解】 由绘制出的折线图知： 在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确； 在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确； 在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确； 在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力. 9、D 【答案解析】 根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解. 【题目详解】 如图,该几何体为正方体去掉三棱锥, 所以该几何体的体积为：, 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题. 10、B 【答案解析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【题目详解】 本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以， ，，故当输入，，则计算机输出的数 是57. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 11、A 【答案解析】 投影即为，利用数量积运算即可得到结论. 【题目详解】 设向量与向量的夹角为， 由题意，得，， 所以，向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 12、B 【答案解析】 根据题意得到，，解得答案. 【题目详解】 ，，解得或（舍去）. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得． 【题目详解】 如图： 设，又， 且存在实数使得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 14、 【答案解析】 由二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可求得值域． 【题目详解】 ， ，则， . 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查三角恒等变换（二倍角公式、两角和的正弦公式），考查正弦函数的的单调性和最值．求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质得出结论． 15、4 【答案解析】 设，则，，， ，当且仅当，即时，等号成立. , 故答案为4 16、10 【答案解析】 根据已知数据直接计算即得. 【题目详解】 由题得，. 故答案为：10 【答案点睛】 本题考查求平均数，是基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）. 【答案解析】 （1）根据，由向量，的坐标直接计算即得；（2）先求出，再根据向量平行的坐标关系解得. 【题目详解】 （1）由题，向量，， 则 . （2），. ， ， 整理得， 化简得，即， ，， ，即. 【答案点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，以及向量平行，是常考题型. 18、（1）证明见解析； （2）. 【答案解析】 （1）利用已知条件化简出，当时，，当时，再利用进行化简，得出，即可证明出为等差数列； （2）根据（1）中，求出数列的通项公式，再化简出，可直接求出的前100项和． 【题目详解】 解：（1）由题意知，即，① 当时，由①式可得； 又时，