2023学年江西省赣州市文清外国语学校高三压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（ ） A． B．1 C． D．2 3．设，，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（ ） A． B．1 C． D．2 6．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．若函数在时取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 8．已知是函数的极大值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 9．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( ) A．1 B．-3 C．1或 D．-3或 10．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A． B． C． D． 11．复数的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 12．已知集合,则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，内角所对的边分别是.若，，则__，面积的最大值为___. 14．若直线与直线交于点，则长度的最大值为____． 15．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______. 16．已知数列满足，则________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值. 18．（12分）（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元. （1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏； （2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率． ①写出P0，P8的值； ②求决赛甲获胜的概率． 19．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程； （2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值． 20．（12分）已知等差数列满足，. （l）求等差数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 21．（12分）设为坐标原点，动点在椭圆：上，该椭圆的左顶点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆外一点满足，平行于轴，，动点在直线上，满足.设过点且垂直的直线，试问直线是否过定点？若过定点，请写出该定点，若不过定点请说明理由. 22．（10分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围. 【题目详解】 由题化简得，， 作出的图象， 又由易知． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题. 2、D 【答案解析】 如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示建立直角坐标系，则，，，设， 则 . 当，即时等号成立. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 3、A 【答案解析】 根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【题目详解】 若， ，则，可得； 若，可得，无法得到， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【答案点睛】 本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是： ① 若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ② 若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③ 若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④ 若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系. 4、C 【答案解析】 试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C． 考点：函数的综合问题． 【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键． 5、B 【答案解析】 根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得. 【题目详解】 解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根 ∴ 又是正项等比数列，所以 ∴. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题. 6、C 【答案解析】 将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得. 【题目详解】 将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作： 则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为， 由中位线定理可得且， 所以即为与直线所成的角， ， 由余弦定理可得 ， 所以直线与直线所成角的余弦值为， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题. 7、D 【答案解析】 利用辅助角公式化简的解析式，再根据正弦函数的最值，求得在函数取得最小值时的值． 【题目详解】 解：，其中，，， 故当，即时，函数取最小值， 所以， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 8、B 【答案解析】 方法一：令，则，， 当，时，，单调递减， ∴时，，，且， ∴，即在上单调递增， 时，，，且， ∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意； 当时，存在使得，即， 又在上单调递减，∴时，，所以， 这与是函数的极大值点矛盾． 综上，．故选B． 方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B． 9、D 【答案解析】 由题得，解方程即得k的值. 【题目详解】 由题得，解方程即得k=-3或. 故答案为：D 【答案点睛】 (1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离. 10、D 【答案解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D． 考点：数列的通项公式． 11、D 【答案解析】 直接相乘，得，由共轭复数的性质即可得结果 【题目详解】 ∵ ∴其共轭复数为. 故选：D 【答案点睛】 熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质. 12、B 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案 【题目详解】 ,表示偶数， 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 由正弦定理，结合，，可求出；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值. 【题目详解】 因为，所以由正弦定理可得，所以; 所以，当，即时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 【答案点睛】 本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型. 14、 【答案解析】 根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可. 【题目详解】 由题可知,直线可化为, 所以其过定点, 直线可化为, 所以其过定点,且满足, 所以直线与直线互相垂直, 其交点在以为直径的圆上,作图如下: 结合图形可知,线段的最大值为, 因为为线段的中点, 所以由中点坐标公式可得, 所以线段的最大值为. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题. 15、 【答案解析】 根据，则当时，，即.当时，显然成立；当时，由，转化为，令，用导数法求其最大值即可. 【题目详解】 因为，又当时，，即. 当时，显然成立； 当时，由等价于， 令，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，则， 又，得， 因此的最大值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 16、 【答案解析】 项和转化可得，讨论是否满足，分段表示即得解 【题目详解】 当时，由已知，可得， ∵，① 故，② 由①-②得， ∴． 显然当时不满足上式， ∴ 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了利用求，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）详见解析. 【答案解析】 试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件 得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数）