2023学年河北省名校高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ） A． B． C． D． 3．命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 4．如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ） A． B．1 C． D． 5．两圆和相外切，且，则的最大值为（ ） A． B．9 C． D．1 6．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，则全集则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 9．的展开式中，项的系数为（ ） A．－23 B．17 C．20 D．63 10． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 12．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（ ）条件． A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____. 14．曲线在处的切线方程是_________． 15．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____ 16． “北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知在中，角的对边分别为,且. （1）求的值； （2）若,求的取值范围. 18．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，． （1）求． （2）设，求数列的前项和． 19．（12分）已知函数． (Ⅰ)求函数的极值； (Ⅱ)若,且,求证：． 20．（12分）如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为． （Ⅰ）求椭圆与椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值. 21．（12分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长. 22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论. 【题目详解】 在长方体中，平面即为平面， 过做于，平面， 平面， 平面，为与平面所成角， 在， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 2、C 【答案解析】 分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【题目详解】 由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是； 仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率． 故选：C 【答案点睛】 本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 3、D 【答案解析】 根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【题目详解】 全称命题的否定是特称命题，所以命题“,”的否定是：，． 故选D． 【答案点睛】 本题考查全称命题的否定,难度容易. 4、D 【答案解析】 建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离. 【题目详解】 将抛物线放入坐标系，如图所示， ∵，，， ∴，设抛物线，代入点， 可得 ∴焦点为， 即焦点为中点，设焦点为， ，，∴. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识. 5、A 【答案解析】 由两圆相外切，得出，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【题目详解】 因为两圆和相外切 所以，即 当时，取最大值 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题. 6、A 【答案解析】 根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【题目详解】 依题意，得，故， 故，，， 则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题. 7、B 【答案解析】 模拟程序框图运行分析即得解. 【题目详解】 ； ；. 所以①处应填写“” 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8、D 【答案解析】 化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【题目详解】 由， 则，故， 由知，，因此， ，， ， 故选:D 【答案点睛】 本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题. 9、B 【答案解析】 根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数. 【题目详解】 的展开式的通项公式为.则 ①出，则出，该项为：； ②出，则出，该项为：； ③出，则出，该项为：； 综上所述：合并后的项的系数为17. 故选：B 【答案点睛】 本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 10、C 【答案解析】 先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【题目详解】 解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个， 则基本事件总数为， 则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数， ∴6和28不在同一组的概率. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用. 11、B 【答案解析】 由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【题目详解】 函数，可得， 时，，单调递增， ∵， 故不等式的解集等价于不等式的解集． ． ∴． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题. 12、A 【答案解析】 根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果. 【题目详解】 若“是递增数列”，则， 即，化简得：， 又，，， 则是递增数列，是递增数列， “”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：. 【答案点睛】 本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值. 【题目详解】 根据题意,连接,如下图所示: 在等腰三角形中,已知, 则由向量数量积运算可知 线段的中点分别为则 由向量减法的线性运算可得 所以 因为,代入化简可得 因为 所以当时, 取得最小值 因而 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题. 14、 【答案解析】 利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义即可求解. 【题目详解】 求导得， 所以，所以切线方程为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义，属于基础题. 15、 【答案解析】 双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率． 【题目详解】 解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合， 一条渐近线的斜率为1，即， ，， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题． 16、 【答案解析】 画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【题目详解】 如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为， 因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,, 可得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是