2023学年江西省景德镇一中高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．设，则“ “是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必条件 4．设，则“ ”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5． “”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ） A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺 7．集合，则（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，，．若实数，满足不等式组，则目标函数（ ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 9．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，） A． B． C． D． 11．函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 12．设为自然对数的底数，函数，若，则( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13． “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______. 14．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____． 15．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，, 则异面直线与所成的角为____. 16．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于点，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：为定值． 18．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析. （1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果） （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩 60 65 70 75 85 87 90 物理成绩 70 77 80 85 90 86 93 ①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望； ②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？ 附：线性回归方程， 其中，. 76 83 812 526 19．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值. 20．（12分）设，函数. （1）当时，求在内的极值； （2）设函数，当有两个极值点时，总有，求实数的值. 21．（12分）已知矩阵，. 求矩阵； 求矩阵的特征值. 22．（10分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°. （1）求△ABC的面积； （2）若D，E是BC边上的三等分点，求. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 是等差数列，且公差不为零，其前项和为， 充分性：，则对任意的恒成立，则， ，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意； 若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意. 所以，“，”“为递增数列”； 必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列. 所以，“，”“为递增数列”. 因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题． 2、B 【答案解析】 由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解. 【题目详解】 平面，底面是边长为2的正方形， 如图建立空间直角坐标系，由题意： ，，，，， 为的中点，. ，， ， 异面直线与所成角的余弦值为即为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题. 3、B 【答案解析】 解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案. 【题目详解】 由，得，又由，得， 因为集合， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法. 4、C 【答案解析】 根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可． 【题目详解】 ∵a，b∈（1，+∞）， ∴a＞b⇒logab＜1， logab＜1⇒a＞b， ∴a＞b是logab＜1的充分必要条件， 故选C． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 5、A 【答案解析】 首先利用二倍角正切公式由，求出，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【题目详解】 解：∵，∴可解得或， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二倍角正切公式的应用是解决本题的关键，属于基础题． 6、A 【答案解析】 由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示： 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺． 故选A． 【答案点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键． 7、D 【答案解析】 利用交集的定义直接计算即可. 【题目详解】 ，故， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题. 8、B 【答案解析】 判断直线与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【题目详解】 由，，所以可得. ， 所以由，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示： 由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用. 9、B 【答案解析】 延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积. 【题目详解】 解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形， 则，，， 在中， 则，得， . 故选：B. 【答案点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题. 10、C 【答案解析】 由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出． 【题目详解】 由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为 据题意得：， 解得2n＝12， ∴n21． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11、A 【答案解析】 利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确. 【题目详解】 ，排除掉C，D； ， ，， . 故选：A． 【答案点睛】 本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题. 12、D 【答案解析】 利用与的关系，求得的值. 【题目详解】 依题意， 所以 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查函数值的计算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得. 【题目详解】 由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查随机事件的概率，是基础题. 14、2 0.2 【答案解析】 分别求出随机变量ξ1和ξ2的分布列，根据期望和方差公式计算得解. 【题目详解】 设a，b∈{1，2，1，4，5}，则p（ξ1＝a），其ξ1分布列为： ξ1 1 2 1 4 5 P E（ξ1）（1+2+1+4+5）＝1． D（ξ1）[（1﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2+（4﹣1）2+（5﹣1）2]＝2． ξ2＝1.4|a﹣b|的可能取值分别为：1.4，2.3，4.2，5.6， P（ξ2＝1.4），P（ξ2＝2.3），P（ξ2＝4.2），P（ξ2＝5.6），可得分布列． ξ2 1.4 2.3 4.2 5.6 P E（ξ2）＝