2023年个人总结初中、初高中衔接.docx

个人总结初中、初高中衔接 第一讲 数与式1.1数与式的运算1.１.1.绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离. 1.填空：（1）假设，那么x=_________；假设，那么 ba 练 习 （2）如果，且，那么b＝________；假设，那么c＝________. .选择题：以下表达正确的选项是 （a）假设，那么（b）假设，那么那么 （d）假设，那么 （c）假设， －3.化简：|x－5|－|2x13|（x＞5）.1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了以下一些乘法公式： （1）平方差公式；方公式.乘法公式 ： ； （2）完全平 我们还可以通过证明得到以下一些 （ 1）立方和公式）三数和平方公式（4）两数和立方公式；）两数差立方公 （2）立方差公式 ； ；（ 3（式 . 5对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.22例1计算：.例2，，求的值. 练 习1.填空：111122（1）；（2） ；（3）. 完全平方式，那么等于 942322 ）2222 .选择题：12（1）假设是一个 21112222（c） （d）（a） （b）mmmm 416322（2）不管，为何实数，的值ba （a）总是正数（b）总是负数 （c）可以是零 （d）可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式 一般地，形如的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开 ，，等是有理式. 22 2得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而22 21.分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不 含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，a3a22式.与，与，与，等等. 一般地， 与，与互为有理化因 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算 中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的 形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的根底上去括号与合并同类二次根式. 22.二次根式的意义a2 例1将以下式子化为最简二次根式： 62（1）； （2）； （3）.算：. － 例2计例3试比较以下各组数的大小：2（1）和；（2）和. 例 4化简：. 12例5化简：（1）；（2）.求的值.＝__ ___； 例6， （1） 练习1.填空： 2（2）假设，那么的取值范围是_ _ ___； x （3）__ ___； （4）假设，那么______ .选择题：xx等式成立的条件（a）（b）（c）（d）.假设，求的值. __. 是 4.比较大小：2－3 5－4（填“＞〞，或“＜〞）. 1.1.４.分式1.分式的意义aaa形如的式子，假设b中含有字母，且，那么称为分式.当m≠0时，分式 bbb 具有以下性质：3； . 上述性质被称为分式 像，这样，分子或分母中又含有 例1假设，求常数的例2（1）试证：的根本性质.2.繁分式a分式的分式叫做繁分式. 值. 解得. （其中n是正整数）； 11 1（2）计算：； 1111（3）证明：对任意大于1的正整数 an，有. 2a＝0，求e的值.； c22例3设，且e＞1，2c－5ac＋ 练 习1.填空题：111对任意的正整数n， nn2.选择题：假设，那么＝ 546（a）１（b）（c）（d） .正数满足，求的值. 455算. （1） 11114.计 习题1.11.解不等式：4 ； （2）； ２.，求的值. （3）..填空： 1819（1）＝________；________；a 22（2）假设，那么的取值范围是 （3）________. .2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1分解因式：22（1）x－3x＋2；（2）x＋4x－12；（3）；（4）. 解：（1）如图1.2－1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分2解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x－3x＋2中的一次项，所以，有2x－3x＋2＝（x－1）（x－2）.1－2xx1－ay－1－1x1－2x16－by－2图1.2－1图1.2－3图1.2－4图1.2－2说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.2－1中的两个x用1来表示（如图1.2－2所示）.（2）由图1.2－3，得2x＋4x－12＝（x－2）（x＋6）.（3）由图1.2－4，得 x－122 ＝ y 1（4）＝xy＋（x－y）－1图1.2－5＝（x－1）（y+1）（如图1.2－5所示）.5 2.提取公因式法与分组分解法例2分解因式：（1）； （2）.（2）===. 2）（ 或 = = 23.关于 =. x的二次三项式ax+bx+c（a≠0）的因式分解.假设关于x的方程的两个实数根是、，那么二次三项式 2就式分 解 因 式 可： 分 解（ 1为. 例3把以下关于x的二次多项 ）； （2）. 个因式为 练习1.选择题：22多项式的一 （a）（b）（c）（d） .分解因式：233（1）x＋6x＋8；（2）8a－b；2（3）x－2x－1；（4）. 习题1.21.分解因式：342（1）； （2）； 13（4）.式分解： 2（4）.222 3（1）；（2）； （3）； .在实数范围内因 （3）； .三边b ，，满足，试判定的形状.4.分解因式：x＋x－（a－a）.第二讲函数与方程2.1一元二次方程2.1.1根的判别式 2我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 . 22a4a2 因为a≠0，所以，4a＞0.于是2（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 ＝；12，2a2（2）当b－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bx＝x＝－；122ab22（3）当b－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一 2a 定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.22由此可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b－4ac来判22定，我们把b－4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ〞来表示.2综上所述，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 acx＝；12，2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根bx＝x＝－；122a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例1判定以下关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根.7 22（1）x－3x＋3＝0；（2）x－ax－1＝0；22（3）x－ax＋（a－1）＝0；（4）x－2x＋a＝0.说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2假设一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根那么有 122a2a2aa212222a2a4a4aa ，， ； . 122a2a 所以，一元二次方程的根与系数之间存 一在以下关系：bc2如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x，x，那么x＋x＝，xx＝.这 aa关系也被称为韦达定理.2 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，假设x，x是其两根，12由韦达定理可知 x＋x＝－p，xx＝q，·1212即p＝－（x＋x），q＝xx，·121222所以，方程x＋px＋q＝0可化为x－（x＋x）x＋xx＝0，由于x，x是一元二·12121222次方程x＋px＋q＝0的两根，所以，x，x也是一元二次方程x－（x＋x）x＋xx＝0.因·121212此有 以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是根及k的值. 122x－（x＋x）x＋xx＝0.·12122例2方程的一个根是2，求它的另一个 －例3关于x的方程x＋2（m2）x＋m＝0有两个实数根，并且这两个＋4实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值.例4两个数的和为4，积为－12，求这两个数.2例5假设x和x分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根.12（1）求|x－x|的值；128 11（2）求的值； 22xx1233 （3）x＋x.122例6假设关于x的一元二次方程x－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.练习1.选择题：22（1）方程的根的情况是 （a）有一个实数根（b）有两个不相等的实数根（c）有两个相等的实数根（d）没有实数根2（2）假设关于x的方程mx＋（2m＋1）x＋m＝0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是11（a）m＜（b）m＞－4411（c）m＜，且m≠0（d）m＞－，且m≠0442.填空：112（1）