2023学年河北省武邑中学高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤 2．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（ ） A． B． C． D． 3．命题：的否定为 A． B． C． D． 4．公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（ ） A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7] 6．设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知，，则（ ） A． B． C．3 D．4 8．已知与函数和都相切，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为（ ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 10．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ） A． B． C． D． 11．若变量，满足，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．10 12．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若，则________. 14．已知数列为等比数列，，则_____. 15．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________． 16．函数在的零点个数为_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知数列和满足，，，，. （Ⅰ）求与； （Ⅱ）记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求正整数的值. 18．（12分）已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）的角的对边分别为且，，求边上的高的最大值. 19．（12分）已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足. （1）求数列、的通项公式； （2）令，证明：. 20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为. (1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； (2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值． 21．（12分）在中，内角的对边分别是，满足条件． （1）求角； （2）若边上的高为，求的长． 22．（10分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）. （1）分别求，关于x的函数关系式； （2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ， 故选C 2、C 【答案解析】 判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项. 【题目详解】 两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题. 3、C 【答案解析】 命题为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题的否定为，故选C． 4、B 【答案解析】 设数列的公差为.由，成等比数列，列关于的方程组，即求公差. 【题目详解】 设数列的公差为， ①. 成等比数列，②， 解①②可得. 故选：. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 5、B 【答案解析】 作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解. 【题目详解】 画出不等式组所表示的可行域如图△AOB 当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意 t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16 由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6 故选：B． 【答案点睛】 此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法. 6、C 【答案解析】 设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解. 【题目详解】 设过点作圆 的切线的切点为， ， 所以是中点，， ， . 故选:C. 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题. 7、A 【答案解析】 根据复数相等的特征，求出和，再利用复数的模公式，即可得出结果. 【题目详解】 因为，所以， 解得 则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查相等复数的特征和复数的模，属于基础题. 8、B 【答案解析】 根据直线与和都相切，求得的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆，由此求得正确选项. 【题目详解】 .设直线与相切于点，斜率为，所以切线方程为，化简得①.令，解得，，所以切线方程为，化简得②.由①②对比系数得，化简得③.构造函数，，所以在上递减，在上递增，所以在处取得极小值也即是最小值，而，所以有唯一解.也即方程③有唯一解.所以切线方程为.即.不等式组即，画出其对应的区域如下图所示.圆可化为，圆心为.而方程组的解也是.画出图像如下图所示，不等式组所确定的平面区域在内的部分如下图阴影部分所示.直线的斜率为，直线的斜率为.所以，所以，而圆的半径为，所以阴影部分的面积是. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 9、B 【答案解析】 由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程. 【题目详解】 设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为. 故选B 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题. 10、C 【答案解析】 设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度. 【题目详解】 设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线. 正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系： 因此有，设平面的法向量为，所以有 ，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力. 11、D 【答案解析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【题目详解】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 如图点坐标分别为， 目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 12、C 【答案解析】 在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论. 【题目详解】 在长方体中，平面即为平面， 过做于，平面， 平面， 平面，为与平面所成角， 在， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、13 【答案解析】 由导函数的应用得：设，， 所以，，又，所以，即， 由二项式定理：令得：，再由，求出，从而得到的值； 【题目详解】 解：设，， 所以，， 又，所以， 即， 取得：， 又， 所以， 故， 故答案为：13 【答案点睛】 本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题 14、81 【答案解析】 设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解. 【题目详解】 设数列的公比为，由题意知， 因为，由等比数列通项公式可得， ，解得， 由等比数列通项公式可得， . 故答案为： 【答案点睛】 本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题. 15、 【答案解析】 因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]， 所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是． 答案： 16、1 【答案解析】 本问题转化为曲线交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【题目详解】 问题函数在的零点个数，可以转化为曲线交点个数问题. 在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示： 由图象可知：当时，两个函数只有一个交点. 故答案为：1 【答案点睛】 本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）,；（Ⅱ）1 【答案解析】 （Ⅰ）易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公式即可. （Ⅱ）由题可知要求的最小值,再分析的正负即可得随的增大而增大再判定可知即可. 【题目详解】 （Ⅰ）因为,故是以为首项,2为公比的等比数列,故. 又当时, ,解得. 当时, …① …② ①-②有,即.当时也满足.故为常数列, 所以.即. 故, （Ⅱ）因为对,恒成立.故只需求的最小值即可. 设,则, 又, 又当时,时. 当时,因为 . 故.