2023学年江西省赣州市于都县第二中学高三（最后冲刺）数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ） A．1 B． C． D． 2．已知函数,则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 3．复数的虚部为（ ） A． B． C．2 D． 4．已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 7．正方形的边长为，是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．设，随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（ ） A．减小，减小 B．减小，增大 C．增大，减小 D．增大，增大 9．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D． 10．已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 11．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 12．下列说法正确的是（ ） A．“若，则”的否命题是“若，则” B．“若，则”的逆命题为真命题 C．，使成立 D．“若，则”是真命题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为__________. 14．设满足约束条件，则的取值范围为__________. 15．某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是______. ①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同； ②支出最高值与支出最低值的比是6:1； ③第三季度平均收入为50万元； ④利润最高的月份是2月份． 16．已知，满足约束条件则的最大值为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且 (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（12分）对于正整数，如果个整数满足， 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为. (Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”; (Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值; (Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值. (注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.) 19．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点. 求椭圆的方程； 已知是椭圆的内接三角形， ①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长； ②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值. 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l与曲线C分别交于M，N两点. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若点P的极坐标为，，求的值. 21．（12分）如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点． 求证：平面平面； 是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22．（10分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点． （1）若，求直线与轴的交点坐标； （2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案. 【题目详解】 对任意的总有恒成立 ，对恒成立， 令， 可得 令，得 当， 当 ，， 故 令，得 当时， 当， 当时， 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题. 2、A 【答案解析】 用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像. 【题目详解】 设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了函数图像的性质，属于中档题. 3、D 【答案解析】 根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部. 【题目详解】 解：=， 故虚部为-2. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算和复数的概念. 4、B 【答案解析】 由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解. 【题目详解】 平面，底面是边长为2的正方形， 如图建立空间直角坐标系，由题意： ，，，，， 为的中点，. ，， ， 异面直线与所成角的余弦值为即为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题. 5、A 【答案解析】 将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【题目详解】 解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同， ∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为， 设球的半径为， 则，解得， 所以， 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题． 6、B 【答案解析】 求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论. 【题目详解】 由，得，则集合， 所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题. 7、C 【答案解析】 分别以直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，设，根据，可求，而，化简求解. 【题目详解】 解：建立以为原点，以直线为轴，直线为轴的平面直角坐标系.设，，，则，，由，即，得.所以 =，所以当时，的最小值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的数量积的坐标表示，属于基础题. 8、C 【答案解析】 ，，判断其在内的单调性即可． 【题目详解】 解：根据题意在内递增， ， 是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 9、C 【答案解析】 根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围. 【题目详解】 由得，. 令， 则， 令，解得， 所以当时，，则在内单调递增； 当时，，则在内单调递减； 所以在处取得极大值，即最大值为， 则的图象如下图所示： 由有且仅有一个不动点，可得得或， 解得或. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题. 10、A 【答案解析】 由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可. 【题目详解】 因为，所以，又，所以， ，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 11、D 【答案解析】 直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【题目详解】 解：函数， 要得到函数的图象， 只需将函数的图象向左平移个单位． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题． 12、D 【答案解析】 选项A，否命题为“若，则”，故A不正确． 选项B，逆命题为“若，则”，为假命题，故B不正确． 选项C，由题意知对，都有，故C不正确． 选项D，命题的逆否命题“若，则”为真命题，故“若，则”是真命题，所以D正确． 选D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、60 【答案解析】 根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数. 【题目详解】 三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本， 则三组抽取人数分别. 设组有人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率， ∴解得. ∴该部门员工总共有人. 故答案为：60. 【答案点睛】 本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题. 14、 【答案解析】 由题意画出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得到的最值，即可得解. 【题目详解】 由题意画出可行域，如图： 转化目标函数为， 通过平移直线，数形结合可知：当直线过点A时，直线截距最大，z最小；当直线过点C时，直线截距最小，z最大. 由可得，由可得， 当直线过点时，；当直线过点时，， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题. 15、①②③ 【答案解析】 通过图片信息直接观察，计算，找出答案即可． 【题目详解】 对于①，2至月份的收入的变化率为20，11至12月份的变化率为20，故相同，正确． 对于②，支出最高值是2月份60万元，支出最低值是5月份的10万元，故支出最高值与支出最低值的比是6：1，正确． 对于③，第三季度的7，8，9月每个月的收入分别为40万元，50万元，60万元，故第三季度的平均收入为50万元，正确． 对于④，利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元，高于2月份的利润是80﹣60＝20万元，错误． 故答案为①②③． 【答案点睛】 本题考查利用图象信息，分析归纳得出正确结论，属于基础题目． 16、1 【答案解析】 先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数的最大值． 【题目详解】 解：由约束条件得如图所示的三角形区域， 由于，则， 要求的最大值，则求的截距的最小值， 显然当平行直线过点时， 取得最大值为：. 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值. 三、解答题：共70分。解答