2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版21.docx

二○○一年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次． 一、选择题（此题总分值36分，每题6分） 此题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不管是否写在括号内），一律得0分． 1．a为给定的实数，那么集合M={x| x2-3x-a2+2=0，x∈R}的子集的个数为 （A） 1 （B） 2 （C） 4 （D） 不确定 【答】（ C ） 【解】 方程x2-3x-a2+2=0的根的判别式Δ=1+4a2>0，方程有两个不相等的实数根．由M有2个元素，得集合M有22=4个子集． 2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; 命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 （A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个 【答】（ B ） 【解】 只有命题1对． 3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 【答】（ D ） 【解】 y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx以2为周期．y=|ctgx|在（0，）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件． 4．如果满足∠ABC=60°，AC=12， BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是 （A） k= （B）0<k≤12 （C） k≥12 （D） 0<k≤12或k= 【答】（ D ） 【解】 根据题设，△ABC共有两类如图． 易得k=或0<k≤12．此题也可用特殊值法，排除（A）、（B）、（C）． 5．假设的展开式为， 那么的值为 （A） （B） （C） （D） 【答】（ C ） 【解】 令x=1可得=； 令x=可得0=； （其中，那么=1且++1=0） 令x=可得0=． 以上三式相加可得=3（）． 所以=． 6．6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）． （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定 【答】（ A ） 【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x、y元/枝． 那么6x+3y>24,4x+5yx+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=,y=. 所以2x-3y==0，即2x>3y． 也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究． 二、填空题（此题总分值54分，每题9分） 此题共有6小题，要求直接将答案写在横线上． 7．椭圆的短轴长等于． 【解】 故．从而． 8．假设复数z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z2=，那么z1·z2=． 【解】 由3z1-2z2== 可得．此题也可设三角形式进行运算． 9．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，那么直线A1C1与BD1的距离是． 【解】 作正方体的截面BB1D1D，那么A1C1⊥面BB1D1D．设A1C1与B1D1交于点O，在面BB1D1D内作OH⊥BD1，H为垂足，那么OH为A1C1与BD1的公垂线．显然OH等于直角三角形BB1D1斜边上高的一半，即OH=． 10. 不等式的解集为． 【解】 等价于或． 即或． 此时或或． ∴解为x >4或0<x<1 或 1<x<． 即解集为． 11．函数的值域为． 【解】 ． 两边平方得，从而且． 由或． 任取，令，易知，于是且． 任取，同样令，易知， 于是且． 因此，所求函数的值域为． 12． 在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，那么有 732 种栽种方案． 【解】 考虑A、C、E种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法． 考虑A、C、E种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A、C、E种三种植物，此时共有P43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法． 三、解答题（此题总分值60分，每题20分） 13．设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1=a12，b2=a22，b3=a32（a1<a2） ，又．试求{an}的首项与公差． 【解】 设所求公差为d，∵a1<a2，∴d>0．由此得 a12(a1+2d)2=(a1+d)4 化简得2a12+4a1d+d2=0 解得d=() a1.………………………………………………………………5分 而<0，故a1<0． 假设d=() a1，那么； 假设d=()a1，那么；…………………………………………10分 但存在，故|q|<1．于是不可能． 从而． 所以a1=，d=() a1=()()=．……………………20分 14．设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P． ⑴ 求实数m的取值范围（用a表示）； ⑵ O为原点，假设C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）． ⑴ 【解】 由消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0． ① 设f(x)= x2+2a2x+2a2m-a2，问题⑴转化为方程①在x∈(-a，a)上有唯一解或等根． 只须讨论以下三种情况： 1° Δ=0得 m=．此时 xp= -a2，当且仅当-a<-a2<a，即0<a<1时适合； 2° f(a)·f(-a)<0当且仅当–a<m<a； 3° f(-a)=0得m=a．此时 xp=a-2a2，当且仅当-a< a-2a2<a，即0<a<1时适合．f(a)=0得m=-a，此时 xp=-a-2a2，由于-a-2a2<-a，从而m≠-a． 综上可知，当0<a<1时，m=或-a<m≤a； 当a≥1时，-a<m<a.……………………………………………………10分 ⑵ 【解】 ΔOAP的面积S=ayp． ∵0<a<，故-a<m≤a时，，由唯一性得xp=．显然当m=a时，xp取值最小．由于xp>0，从而取值最大，此时yp=2，∴S=a． 当m=时，xp=-a2，yp=，此时S=a． 下面比较a与a的大小： 令a=a，得a=. 故当0<a≤时 , ．此时Smax=． 当<a<时，．此时Smax= a．……………20分 15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5 、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论． 【解】 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…………………………………………5分 证明如下 1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：那么．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1>R2． R1 R3 R2 2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB： ． R3 R4 R1 R2 显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个． 3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD： ． 假设记，．那么S1、S2为定值． 于是． 只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4<R3，R3<R2，R3<R1，即得总电阻的阻值最小．……………………………………………………………………15分 4°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使R6<R5；且由1°，应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5< R4，且应使RCD最小． E 而由3°，要使RCD最小，应使R4< R3 < R2且R4< R3 < R1． G 这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分 图3 R1 A R2 R4 R6 R3 R5 B C D F G E 二○○一年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当划分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次． 一．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M， FD和AC交于点N． 求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE． （2）OH⊥MN． 【证明】（1）∵A，C，D，F四点共圆， ∴∠BDF=∠BAC． 又∵∠OBC=(180°-∠BOC)=90°-∠BAC， ∴OB⊥DF． 同理OC⊥DE．………………………10分 （2） ∵CF⊥MA， ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2．……① ∵BE⊥NA， ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2．……② ∵DA⊥BC， ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2．……③ ∵OB⊥DF， ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2．……④ ∵OC⊥DE， ∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2．……⑤………………………………………………30分 ①-②+③+④-⑤，得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2． MO 2-MH 2=NO 2-NH 2． 所以OH⊥MN．…………………………………………………………………………50分 二．设（i=1，2，…，n），且，求的最大值与最小值． 【解】先求最小值，因为≥1， 等号成立当且仅当存在i使得 xi =1，xj =0，j≠i． ∴的最小值为1．………………………………………………………………10分 再求最大值，令， ∴．…………① 设M ==． 令 那么①．………………………………………………………30分 令an+1=0，那么M= =． 由柯西不等式得 M． 等号成立 ．（k=1，2，…，n） 由于，从而 ，即． 所求最大值为．……………………………………………50分 三．将边长为正整数m，n的矩形划分成假设干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值． 【解】记所求最小值为f（m，n），可以证明f（m，n）=m+n-(m，n)． (x) 其中(m，n)表示m和n的最大公约数．………………………………………………10分 事实上，不妨设m≥n． (1)关于m归纳，可以证明存在