2023年数列的通项公式求解方法经典整理.doc

数列的通项公式求解方法经典整理 ★旭日东升★QQ：284625005 一、定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 1．概念与公式： ①等差数列： 1°.定义：假设数列称等差数列； 2°.通项公式： 3°.前n项和公式：公式： ②等比数列： 1°.定义假设数列〔常数〕，那么称等比数列； 2°.通项公式： 3°.前n项和公式：当q=1时 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列 1°.假设是等差数列，那么 2°.假设是等比数列，那么 ②中项及性质： 1°.设a，A，b成等差数列，那么A称a、b的等差中项，且 2°.设a,G,b成等比数列，那么G称a、b的等比中项，且 ③设p、q、r、s为正整数，且 1°. 假设是等差数列，那么 2°. 假设是等比数列，那么 ④顺次n项和性质： 1°.假设是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列； 2°. 假设是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.〔注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立〕 ⑤假设是等比数列， 那么顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列. ⑥假设是公差为d的等差数列, 1°.假设n为奇数，那么而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和〕； 2°.假设n为偶数，那么 1.等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. 解析： 设数列公差为 ∵成等比数列，∴， 即 ∵，∴……………………………………① ∵，∴……………② 由①②得：， ∴ 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项。 2. 在等差数列 ； 在各项为正的等比数列 。 解析： 0, 3.数列试写出其一个通项公式：__________； 二、观察法 给出前几项〔或用图形给出〕，求通项公式一般从以下几个方面考虑： ①符号相隔变化用(-1)的n次方来调节。 ②分式形式的数列，注意分子、分母分别找通项，并注意分子与分母的联系。 ③分别观察奇数项与偶数项的变化规律，用分段函数的形式写出通项。 ④观察是否与等差数列和等比数列相联系。 ⑤分析相邻项的关系。 ⑥如果需要证明，使用数学归纳法。 例： 求以下数列的通项公式 ①1/2,4/9,3/8,8/25,5/18,12/49…… ②-3,7,-13,21,-31…… ③1,4,9,16…… 解析： ①：将1/2改成2/4,3/8改成6/16，5/18改成10/36， 原数列就为2/4,4/9,6/16,8/25,10/36,12/49，所以通项公式为an=2n/(n+1)² ②：符号相隔变化用(-1)的n次方来调节， 数列3，7，13，21，31，……的通项公式：后项与前项差为4、6、8、10……，把第一项3分为1+2，数列2、4、6、8、10……，为等差数列，公差d=2，通项：2+2(n-1)=2n，那么bn=1+2+4+6+……+2n=1+=n²+n+1 所以an=(-1)n(n²+n+1) 第二种方法：数列3，7，13，21，31，……看作：4-1，9-2，16-3，25-4，36-5，…… 所以an= = ③：an=n² 例： 数列满足，求数列的通项公式。 解：由及，得 由此可猜想，往下用数学归纳法证明这个结论。 〔1〕当时，，所以等式成立。 〔2〕假设当时等式成立，即，那么当时， 由此可知，当时等式也成立。 根据〔1〕，〔2〕可知，等式对任何都成立。 评注：此题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 1. 〔广东卷〕设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．假设用表示这ｎ条直线交点的个数，那么_____________；当ｎ＞４时，＝_____________． 2.〔2023·福州检测〕图〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，那么第50个图包含 个互不重叠的单位正方形. 3．〔2023年广东卷〕在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干准“正三棱锥〞形的展品， 其中第一堆只有一层，就1个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层〔第一层〕分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，那么 ； 〔答案用含有n的式子表示〕 4.如图,作边长为的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,那么前个内切圆的面积和为___ 解析： 设第个正三角形的内切圆的半径为,因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的.由题意知,.故前个内切圆的面积和为. 5.学校餐厅每天供给500名学生用餐,每星期一有A,B两种菜可供选择.调查资料说明,但凡在星期一选A种菜的,下星期一会有20% 改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30% 改选A种菜.用分别表示在第个星期选A的人数和选B的人数,如果,求. 解析： 依题意得，消去得：. 由得,从而得. 一般地，可推出，假设，那么数列是首项为，公比为的等比数列．那么． 6.观察以下数表: 1 2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15 … 那么2 008是此表中的第 行的第 个数. 7.将数列{3n-1}按“第n组有n个数〞的规那么分组如下： 〔1〕，〔3，9〕，〔27，81，243〕，…，那么第100组中的第一个数是 . 8.将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规那么排成如下数表： 记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足． 〔Ⅰ〕证明数列成等差数列，并求数列的通项公式； 〔Ⅱ〕上表中，假设从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当时，求上表中第行所有项的和． 9.〔福建卷〕五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②假设报出的是为3的倍数，那么报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 。 解析： 这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否那么，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比拟简单了.这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.s.5.u.c 三、公式法： [1]〔即〕求，用作差法：。 例2．数列的前项和满足．求数列的通项公式。 解：由 当时，有 ……， 经验证也满足上式，所以 点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但假设能合写时一定要合并． 练一练：①的前项和满足，求； ②数列满足，求； [2]作商法 求，用作商法：。 例如：数列中，对所有的都有，那么______ ； 四.累加法〔迭加法〕： 假设求：。 例. 数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 例. 数列满足，求数列的通项公式。 解：由得那么 所以数列的通项公式为。 此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 如数列满足，，那么=________ ； 五.累乘法〔迭乘法〕：求，用累乘法：。 例. 数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 例. 数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，那么，故 所以数列的通项公式为 评注：此题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 练习：数列中，，前项和，假设，求 六.构造法. 递推关系求，用构造法〔构造等差、等比数列〕。 〔1〕形如、，，，，〔为常数〕 …… 等一系列 一阶线性递推数列都可以直接或者用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。 ① 解法：待定系数法，直接令，展开后，与原式比拟，求得，转化为等比数列求解。 例. 数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，那么,且 所以是以为首项，2为公比的等比数列，那么,所以. ② 解法一：该类型较类型①要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列〔其中〕，得：再应用①的方法解决。 解法二：也可以待定系数法，直接令来构造等比数列 例. 数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，那么,应用①解法得： 所以 例. 数列满足，，求数列的通项公式。 解：两边除以，得，那么，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。 评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。 例 数列满足，求数列的通项公式。[待定系数法] 解：设 ① 将代入①式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入①式得 ② 由及②式得，那么，那么数列是以为首项，以2为公比的等比数列，那么，故。 评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 例. 数列满足，求数列的通项公式。 解：两边除以，得， 那么，故 因此， 那么 评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 例.数列满足，求数列的通项公式。[待定系数法] 解：设 ① 将代入①式，得 整理得。 令，那么，代入⑥式得 ② 由及⑦式， 得，那么， 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，那么。 评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 ③为常数〕 假设数列满足为常数〕，那么令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。 例 数列中，，点在直线上，求数列的通项 ④假设数列满足为常数〕，那么令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。 例.数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ① 将代入①式，得 ，那么 等式两边消去，得， 解方程组，那么，代入①式，得 ② 由及②式，得 那么，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，那么。 评注：此题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。