2023学年九年级数学上册第二十四章圆24.3正多边形和圆测试卷含解析.docx

专题24.3正多边形和圆（测试） 一、单选题 1．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解析】． 故这个正多边形的边数为12． 故选：B． 2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（　　） A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补 【答案】A 【解析】设正多边形是正n边形，则它的一边所对的中心角是， 正多边形的外角和是360°，则每个外角也是， 所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等， 故选A． 3．在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】D 【解析】 解：由题意这个正n边形的中心角=60°， ∴n==6 ∴这个多边形是正六边形， 故选：D． 4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】如图，作， 依题可得：是边长为2的等边三角形， 在中， ∵，， ∴， 即原来的纸宽为. 故答案为：C. 5．已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：如图，六边形ABCDEF为正六边形，作OH⊥AB于H，连接OA， ∴OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距， ∴OH=， 在Rt中，∠AOH==30°， ∴cos∠AOH=， ∴OA=2， ∴它的外接圆的面积==4π． 故选：C． 6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB的比是(　　) A．2﹣ B． C． D． 【答案】A 【解析】 过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H， 则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形， ∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH， 设AF＝EF＝GH＝DH＝k， ∴AE＝DG＝k， ∴EG＝2AE＝2k， ∴AB＝AD＝2k+2k， ∴正八边形边长与AB的比＝， 故选A． 7．如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（　　） A．27﹣9 B．54﹣18 C．18 D．54 【答案】B 【解析】解：设EF交AH于M、交HD于N，连接OF、OE、MN，如图所示： 根据题意得：△EFO是等边三角形，△HMN是等腰直角三角形， ∴EF＝OF＝6， ∴△EFO的高为：OF•sin60°＝6×＝，MN＝2（6﹣）＝12﹣， ∴FM＝（6﹣12+）＝﹣3， ∴阴影部分的面积＝4S△AFM＝4×（﹣3）×＝54﹣； 故选：B． 8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（　　）米 A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1=4（米）， 设正方形边长是x米，则 x2+x2=42， 解得：x=2， 所以正方形桌布的边长是2米． 故选：A． 9．下面给出五个命题 (1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆 (2)各边相等的圆外切多边形是正多边形 (3)各角相等的圆内接多边形是正多边形 (4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)正n边形的中心角，且与每一个外角相等 其中真命题有(　　) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【解析】解：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确； (2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误； (3)圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误； (4)边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形； (5)正n边形的中心角，且与每一个外角相等． 故正确的是(1)(5)．共有2个． 故选：A． 10．一个圆的内接正三角形的边长为，则该圆的内接正方形的边长为( ) A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意画图如下：过点O作OD⊥BC于D，连接OB， ∴BD=CD=BC=， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∴∠OBD=30°， ∴OD=OB， ∴OB2-(OB)2=BD2， 解得：OB=2，即圆的半径为2， ∴该圆的内接正方形的对角线长为4， 设正方形的边长为x， ∴x2+x2=42， 解得x=. ∴该圆的内接正方形的边长为. 故选D. 11．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是(　　) A．30° B．60° C．55° D．75° 【答案】B 【解析】连接OB，OD， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOD＝360∘3＝120°， ∴∠BPD＝12∠BOD＝60°， 故选：B． 12．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( ) A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14 【答案】B 【解析】 解：由题意n=6时，π≈Ld=6r2r=3， 故选：B． 13．如图，用四根长为的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动，同时添加另外四根长为的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意可知：△ABC是等腰直角三角形，AB=5，AC=BC=a． 则有：a2+a2=52， ∴a=或-（舍弃） 故选：D． 14．如图，将边长为5的正六边形沿直线折叠，则图中阴影部分周长为（ ） A．20 B．24 C．30 D．35 【答案】C 【解析】由翻折不变性可知，阴影部分的周长等于正六边形ABCDEF的周长=5×6=30， 故选：C． 15．如图，已知的周长等于 ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r， ∵⊙O的周长等于6πcm， ∴2πr=6π， 解得：r=3， ∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB=OA=3cm， ∵OH⊥AB， ∴AH=AB， ∴AB=OA=3cm， ∴AH=cm，OH==cm， ∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）． 故选C. 16．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等， 则这个正n边形的中心角是60°， n的值为6， 故选：C 二、填空题 17．若正多边形的一个外角为 60°，则这个正多边形的中心角的度数是___________． 【答案】60° 【解析】∵正多边形的一个外角为60°， ∴正多边形的边数为360°60°=6， 即正多边形为六边形， ∴这个正多边形的中心角的度数=360°6=60°． 故答案为60° 18．如图，六边形ABCDEF是正六边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝_____． 【答案】60° 【解析】解：如图，过A作l∥l1，则∠4＝∠2， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠FAB＝120°，即∠4+∠3＝120°， ∴∠2+∠3＝120°，即∠3＝120°﹣∠2， ∵l1∥l2， ∴l∥l2， ∴∠1+∠3＝180°， ∴∠1+120°﹣∠2＝180°， ∴∠1﹣∠2＝180°﹣120°＝60°， 故答案为：60°． 19．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝_____． 【答案】75° 【解析】解： 设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O， 由题意知，⊙O的周长， ∴∠A3OA10＝＝150°， ∴∠A3A7A10＝75°， 故答案为：75°． 20．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（　　） A． B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3 【答案】A 【解析】如图， ∵正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1 ∴第一次旋转后点M1 纵坐标坐标为 ，第二次、第三次旋转后点M2（M3）的纵坐标为﹣ ，四次旋转后点M4的纵坐标为﹣﹣，第五次旋转后点M5的纵坐标为 +，第六次旋转后的点M6的纵坐标为． 故选：A． 三、解答题 21．如图，已知． （1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】解：（1）如图所示： , （2）如图所示： 22．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积． 【答案】2. 【解析】延长AB，再作出过点C与格点所在的直线，交于格点E. ∵正六边形的边长为1， ∴正六边形的半径是1，则CE＝4， 由题意得中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是， 则△BCE的边EC上的高是，△ACE边EC上的高是， 则S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝×4×(－)＝2. 23．回顾旧知：在探究有关正多边形的有关性质时，我们是从那几个方面展开的？探究的方法与过程又是怎样的？（不要求回答） 温馨提示，如图1，是一个边长为a的正六边形．我们知道它具有如下的性质：①正六边形的每条边长度相等；②正六边形的六个内角相等，都是120°；③正六边形的内角和为720°；④正六边形的外角和为360°．等． 解答问题： （1）观察图2，请你在下面的横线上，再写出边长为a的正六边形所具有不同于上述的性质（不少于5条）： ． （2）尺规作图：在图2中作出圆内接正六边形的内切圆（不要求写作法，只保留作图痕迹）； （3）求出这个正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值． 【答案】(1)见解析；（2）作图见解析；（3）233． 【解析】（1）①正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②正六边形的面积为：332a2，周长为6a； ③正六边形有一个内切圆、外接圆，它们是同心圆； ④圆内接正六边形的每条边