2023学年九年级数学上册期末考点大串讲一元二次方程及其一般式含解析新版（人教版）.doc

9 一元二次方程及其一般式 知识网络 重难突破 知识点1：一元二次方程定义及一般形式 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 【注意】 1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。 典例1 下列属于一元二次方程的是（　　）. A． B． C． D．3x＋1＝0 【答案】B A. 不是一元二次方程，有两个未知数，故此选项错误； B. 是一元二次方程，故此选项正确； C. 不是一元二次方程，是分式方程，故此选项错误； D. 不是一元二次方程，是一元一次方程，故此选项错误； 故选：B. 典例2（2023年春 左贡县期末）是关于x的一元二次方程，则（ ） A． B． C． D． 为任意实数 【答案】C 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数p≠0， 故选C. 典例3 若是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得：a-1≠0 解得a≠1 故选B． 知识点二 一元二次方程的解 概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 典例1（2023年春 赣州市期末）关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是（　　） A.0 B.2 C.2或﹣2 D.﹣2 【答案】C 【详解】把x＝3代入方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9+3m2﹣6﹣15＝0， 解得m＝±2． 故选C． 典例2（2023年春 武汉市期末）已知 1 是关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0 的一个根，则 m 的值是（ ） A.1 B.0 C.﹣1 D.无法确定 【答案】C 【详解】解：∵1是关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一个根， ∴（m-1）×12+1+1=0，且m-1≠0， 解得：． 故选择：C. 典例3 （2023年市 重庆市期末）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（　　） A.6 B.5 C. D. 【答案】B 【详解】解：∵a是方程x2-3x-1=0的一个根， ∴a2-3a-1=0， 整理得，a2-3a=1， ∴2a2-6a+3=2（a2-3a）+3 =2×1+3 =5， 故选：B． 巩固训练 一、选择题（共10题） 1．（2023年春 青岛市期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2023年，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（　　） A． B．2023年 C．2023年 D．2023年 【答案】B 【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0， 设t=x-1， 所以at2+bt-1=0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2023年， 所以at2+bt-1=0有一个根为t=2023年， 则x-1=2023年， 解得x=2023年， 所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2023年． 故选：B． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．（2023年春 青岛市期末）观察下列表格，一元二次方程x2-x=1.2的一个近似解是（　　） A．0.11 B．1.69 C．1.79 D．1.19 【答案】C 【详解】∵x=1.7时，x2-x=1.19；x=1.8时，x2-x=1.44， ∴一元二次方程x2-x=1.2的一个解为1.7＜x＜1.8． 故选C． 【名师点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 3．（2023年春 济南市期末）已知m是方程好x2－2x－1＝0的一个根，则代数式2m2－4m＋2023年的值为( ) A．2023年 B．2023年 C．2023年 D．2023年 【答案】B 【详解】∵m是方程x2−2x−1=0的一个根， ∴m2−2m−1=0， ∴m2−2m=1， ∴2m2−4m+2017=2(m2−2m)+2017=2×1+2023年=2023年. 故选B 【名师点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则 4．（2023年春 桂林市期末）方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A．1，2，3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．﹣1，﹣2，3 【答案】B 【详解】方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，﹣3， 故选：B． 【名师点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0(其中a，b，c为常数，且a≠0)．解题关键在于找出系数及常熟项 5．（2023年春 荣成市期末）关于x的方程是一元二次方程，则它的一次项系数是( ) A．－1 B．1 C．3 D．3或－1 【答案】B 【详解】解：由题意得：m2-2m-1=2，m-3≠0， 解得m=-1或m=3． m=3不符合题意，舍去， 所以它的一次项系数-m=1． 故选：B． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．（2023年春 蚌埠市期末）一元二次方程(a-3)x2-2x+a2-9=0 的一个根是 0, 则 a 的值是( ) A．2 B．3 C．3 或-3 D．-3 【答案】D 【详解】把x=0代入方程（a-3）x2-2x+a2-9=0，得：a2﹣9=0，解得：a=±3． ∵a－3≠0，∴a=－3． 故选D． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大． 7．（2023年春 苏州市期末）若关于x的方程（a+1）x2-3x-2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得 a+1≠0， 解得，a≠-1． 故选：B． 【名师点睛】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 8．（2023年春 赣州市期末）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ） A．﹣4，2 B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x2，2 【答案】B 【详解】解：把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0得： -3x2+4x-2=0， ∵a＞0， ∴3x2-4x+2=0， ∴一次项和常数项分别是：-4x，2， 故选：B． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 9．（2023年秋 重庆市期中）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意得： ， 解得：， 故选C． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 10．（2023年春 北京市期中）已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，解得a＝6． 故选：D． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 二、填空题（共5题） 11．（2023年春 北京市期末）如果a是一元二次方程的一个根，那么代数式=__________. 【答案】3 【详解】解：把x=a代入x2-3x-5=0得a2-3a-5=0， 所以a2-3a=5， 所以8-a2+3a=8-（a2-3a）=8-5=3． 故答案为：3． 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 12．（2023年春 乌兰察布市期末）方程中，二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____. 【答案】6 -7 -4 【详解】方程整理得：6x −7x−4=0，其中二次项系数是6，一次项系数为−7，常数项为−4， 故答案为： 6，−7，−4 【名师点睛】此题考查一元二次方程的性质，解题关键在于将方程整理为一般形式 13．（2023年春 东营市期末）已知关于的一元二次方程的一根为，则的值为__________． 【答案】 【详解】把x=0代入方程得 m2-4=0 ∴m1=2，m2=-2， ∵一元二次方程的二次项系数不为0， ∴m+2≠0，即m≠-2， ∴m=2． 故答案为：2． 【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，把方程的根代入方程求出字母系数的值，对不合题意的值要舍去． 14．（2023年春 长春市期中）如果是一元二次方程的一个根,则常数的值为______. 【答案】-10. 【详解】把代入可得 解得：x=-10 故答案为：-10 【名师点睛】考核知识点：一元二次方程的根.理解方程的根的意义. 15．（2023年春 温州市期末）若是一元二次方程的解，则代数式的值是_______ 【答案】-3 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ． 故答案为：． 【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的解（根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 三、解答题（共2题） 16．（2023年春 北京市期中）关于x的方程x2+mx﹣1＝0的一个根是x＝2，求m的值． 【答案】m＝﹣． 【详解】解：把x＝2代入方程x2+mx﹣1＝0得4+2m﹣1＝0， 解得m＝﹣． 【名师点睛】本题考核一元二次方程的根的意义. 17．（2023年春 北京市期末）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值． 【答案】1 【详解】依题意，得． ∴． ∵， ∴．∴． 【名师点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．