2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案抽象函数高中数学.docx

x2．12 抽象函数 ——抽象函数要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力，在高考命题中也有逐渐加强的趋势 一、明确复习目标 了解抽象函数的概念和题目形式，掌握一些常用的方法。 二．建构知识网络 1.抽象函数——没有给出函数解析式，只是给出函数所满足的一些性质。 2.抽象函数问题一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。 3.抽象函数处理方法，主要是“赋值法〞，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用变量代换解题。也常联系具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。 4. “函数式变换与图象的对称性之间的关系〞 (在2.4函数图象变换中已详述)。 三、双基题目练练手 1.(2023山东)定义在R上的奇函数满足，那么= ( ) 〔A〕-1 〔B〕0 〔C〕1 〔D〕2 2.(2023启东质检)函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(4) 成立，那么f(2023)= ( ) A．4012 B．2006 C．2023 D．0 3.y=f(2x+1)是偶函数，那么函数y=f(2x)的图象的对称轴是〔 〕 A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x= 4.是偶函数，，当时，为增函数，假设，且，那么 〔 〕 5.(2023安徽)函数对于任意实数满足条件,假设f(1)=－5,那么f(f(5))=_______. 6．函数满足：，，那么 。 简答: 1-4.BDDB; 3.f(2x+1)关于x=0对称,那么f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称. 5.,周期是4, 6．由：=2，∴,原式=16 四、经典例题做一做 【例1】函数对一切，都有，求证: 〔1〕是奇函数；〔2〕假设f(x)的图象关于直线x=1对称,那么f(x)恒等于0. 解：〔1〕在中， 令，得， 令，得，∴， ∴，即， ∴是奇函数 〔2〕f(x)是奇函数,那么f(-x)=-f(x).且f(0)=0 图象关于直线x=1对称,即点(x,y),(2-x,y)同在曲线上,有f(2-x)=f(x)， 且f(2)=f(0)=0 又f(x+y)=f(x)+f(y) ∴f(x)= f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)2f(x)=f(2)=0即f(x)≡0. 方法提炼：１．赋值法．赋值的目的要明确，此题就是要凑出f(0),f (-x)与f(x)的关系；２．领会函数式变换的依据、目的和策略的灵活性。 【例2】函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时， 〔1〕求证：f(x)是偶函数；　　〔2〕f(x)在(0,+∞)上是增函数； 〔3〕解不等式 解：〔1〕令，得，∴， 令，得， ∴， ∴是偶函数 〔2〕设，那么 ∵，∴，∴， 即，∴ ∴在上是增函数 〔3〕，∴， ∵是偶函数 ∴不等式可化为， 又∵函数在上是增函数， ∴0≠，解得：， 即不等式的解集为 【例3】 定义在R上的函数y=f〔x〕，f〔0〕≠0，当x＞0时，f〔x〕＞1，且对任意的a、b∈R，有f〔a+b〕=f〔a〕·f〔b〕. 〔1〕求证：f〔0〕=1； 〔2〕求证：对任意的x∈R，恒有f〔x〕＞0； 〔3〕求证：f〔x〕是R上的增函数； 〔4〕假设f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，求x的取值范围. 〔1〕证明：令a=b=0，那么f〔0〕=f 2〔0〕. 又f〔0〕≠0，∴f〔0〕=1. 〔2〕证明：当x＜0时，－x＞0， ∴f〔0〕=f〔x〕·f〔－x〕=1. ∴f〔－x〕=＞0.又x≥0时f〔x〕≥1＞0， ∴x∈R时，恒有f〔x〕＞0. 〔3〕证明：设x1＜x2，那么x2－x1＞0. ∴f〔x2〕=f〔x2－x1+x1〕=f〔x2－x1〕·f〔x1〕. ∵x2－x1＞0，∴f〔x2－x1〕＞1. 又f〔x1〕＞0，∴f〔x2－x1〕·f〔x1〕＞f〔x1〕. ∴f〔x2〕＞f〔x1〕.∴f〔x〕是R上的增函数. 〔4〕解：由f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，f〔0〕=1得f〔3x－x2〕＞f〔0〕.又f〔x〕是R上的增函数，　∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3. 关键点注：解此题的关键是灵活应用题目条件，尤其是〔3〕中“f〔x2〕=f［〔x2－x1〕+x1］〞是证明单调性的关键，这里表达了向条件化归的策略. 【例4】f(x)是定义在Ｒ上的函数，且f(x+2)(1-f(x))=1+f(x). (1)求证：f(x)是周期函数； 〔２〕假设，试求f(2023),f(2023)的值。 解： 解题要点　用活条件, 【研究.欣赏】 函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0， 〔1〕求的值； 〔2〕对任意的，，都有f(x1)+2<logax2成立时，求a的取值范围． 解：〔1〕由等式， 令，得， 又∵，∴． 〔2〕由， 令得， 由〔1〕知，∴．∵， ∴在上单调递增， ∴． 要使任意，都有成立，必有都成立. 当时，,显然不成立． 当时，，解得 ∴的取值范围是． 方法提炼 怎样赋值需要明确目标,细心研究,反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问题. 五．提炼总结以为师 1.抽象函数一般是函数的一些特性,由这些特性讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。 2.抽象函数处理方法，主要是“赋值法〞，通常是抓住函数特性，利用变量代换解题。要能灵活驾驭函数性质及概念的本质。也常联系具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。 同步练习 2．11 抽象函数 【选择题】 1.(2023石家庄质检)是定义在R上的偶函数，且恒成立，当时，，那么当时，函数的解析式为〔 〕 A． B． C． D． 2.f(x)对任意的整数x都有f(x＋2)＝f(x－2)，假设f(0)＝2023，那么f(2023)＝ ( ) A.2023 B.2003 C.2023 D.2023 3.设f(x)是R上的实函数，且满足：f(10+x)=f(10-x),f(20+x)= -f(20-x)，那么f(x)是〔 〕 A.是偶函数又是周期函数 B.是偶函数但不是周期函数 C.是奇函数又是周期函数 D.是奇函数但不是周期函数 4．〔2023福建〕定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，那么〔 〕 A．f(sin)<f(cos) B．f(sin1)>f(cos1) C．f(cos)<f(sin) D．f(cos2)>f(sin2) 【填空题】 5.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1,时,f(x)=x,那么f(7.5)= 6.设f(x)定义在实数集上的周期为2的函数，且为偶函数，当x∈[0,1]时， ,那么由小到大的顺序是____________ 简答.提示:1-4.DBCB; 4.取;取x1=x2=-1得f(-1)=0 再取x1=-1,x2=x得f(-x)=f(x); 5. 0.5; 6. 周期是2且偶函数可得 又在[0,1]上f(x)=x-2023,是增函数,且 【解答题】 7.设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有. (I)设，求； (II)证明是周期函数. 解(1):当x∈[0,1/2]时,, ; 同理 (2)是偶函数那么(-x)=f(x),关于x=1对称那么有f(x)=f(2-x) ∴f(x)=f(2-x)=f(x-2), ∴f(x)周期为2. 8.函数上有定义，对任意实数和任 意实数,证明:〔Ⅰ〕 〔Ⅱ〕 证明：〔I〕对于任意的均有： ① 在①中取 〔II〕证明：当时，由①得： 取那么有: ② 当x < 0时，由①得: 取，那么有　　　　③ 综合②、③、得f(x)= 9.设是定义在上的增函数，且对任意的，f(xy)=f(x)+f(y)总成立。 〔1〕求证：时，； 〔2〕如果，解不等式 证明(1): 由f(xy)=f(x)+f(y),取x=y=1,f(1)=0,又f(x)递增,故x>1时,f(x)>0; 解(2):f(3)=1那么2=f(3)+f(3)=f(9),从而f(x)>f(x-1)+2等价于F(x)>f(x-1)+f(9)=f(9x-9), ∵是增函数, ∴x>9x-9, ∴ 10.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数； (2)假设f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明． (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　 ① 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，那么有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数． (2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数． f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2， 3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立． 令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立． 综上所述： 对任意x∈R恒成立。 说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．此题还有更简捷的解法： 别离系数由k·3＜-3+9+2得 要使对不等式恒成立， 只需k< 上述解法是将k别离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖． 【探索题】 1.〔2023重庆〕定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. 〔Ⅰ〕假设f(2)=3，求f(1)；又假设f(0)=a，求f(a)； 〔Ⅱ〕设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式。 2．函数的定义域是满足，求。 解：把 ①中的x换成得 ②再把换得 ③ 由①-②+③得